Để tính diện tích cỏ bị chú bò ăn mất, chúng ta cần tìm diện tích phần giao nhau giữa hai hình tròn:

Khu vườn trồng cỏ: Có dạng hình tròn với bán kính R=3 m.
Khu vực chú bò có thể ăn: Chú bò được cột ở một cái cọc cách tâm khu vườn 4 m, và sợi dây dài 2 m. Như vậy, chú bò có thể ăn cỏ trong một hình tròn có bán kính r=2 m, với tâm là vị trí cái cọc.
Gọi tâm khu vườn là O1​ và tâm khu vực chú bò ăn (vị trí cái cọc) là O2​.

Bán kính khu vườn: R1​=3 m.
Bán kính khu vực bò ăn: R2​=2 m.
Khoảng cách giữa hai tâm: d=O1​O2​=4 m.
Vì ∣R1​−R2​∣<d<R1​+R2​ (∣3−2∣<4<3+2⟹1<4<5), hai hình tròn này cắt nhau. Diện tích cỏ bị ăn mất chính là diện tích phần giao của hai hình tròn.

Để tính diện tích phần giao nhau, ta có thể sử dụng công thức tính diện tích hình viên phân (phần diện tích của hình tròn bị cắt bởi một dây cung).

Bước 1: Xác định vị trí của dây cung chung

Đặt tâm O1​ tại gốc tọa độ (0,0) và tâm O2​ tại (4,0). Phương trình đường tròn 1 (khu vườn): x2+y2=R12​=32=9 Phương trình đường tròn 2 (khu vực bò ăn): (x−d)2+y2=R22​⟹(x−4)2+y2=22=4

Để tìm giao điểm của hai đường tròn, ta trừ hai phương trình: (x2+y2)−((x−4)2+y2)=9−4 x2−(x2−8x+16)=5 x2−x2+8x−16=5 8x=21 x=821​=2,625 m.

Đây là hoành độ của dây cung chung. Dây cung chung là đường thẳng đứng x=2,625.

Bước 2: Tính diện tích hình viên phân của từng hình tròn

Diện tích hình viên phân được tính bằng công thức: Avie^npha^n​=R2arccos(Rxc​​)−xc​R2−xc2​ ​ Trong đó:

R là bán kính hình tròn.
xc​ là khoảng cách từ tâm đến dây cung.
arccos trả về giá trị góc bằng radian.
1. Đối với khu vườn trồng cỏ (hình tròn 1):

R1​=3 m.
Khoảng cách từ tâm O1​(0,0) đến dây cung x=2,625 là xc1​=2,625 m.
Diện tích viên phân A1​: A1​=32arccos(32,625​)−2,62532−(2,625)2 ​ A1​=9arccos(0,875)−2,6259−6,890625 ​ A1​=9×0,50536−2,6252,109375 ​ A1​≈4,54824−2,625×1,45235 A1​≈4,54824−3,8163≈0,73194 m2
2. Đối với khu vực bò ăn (hình tròn 2):

R2​=2 m.
Khoảng cách từ tâm O2​(4,0) đến dây cung x=2,625 là xc2​=∣4−2,625∣=1,375 m.
Diện tích viên phân A2​: A2​=22arccos(21,375​)−1,37522−(1,375)2 ​ A2​=4arccos(0,6875)−1,3754−1,890625 ​ A2​=4×0,813715−1,3752,109375 ​ A2​≈3,25486−1,375×1,45235 A2​≈3,25486−1,997≈1,25786 m2
Bước 3: Tính tổng diện tích cỏ bị ăn mất Tổng diện tích cỏ bị ăn mất là tổng diện tích của hai hình viên phân: Atổng​=A1​+A2​≈0,73194+1,25786=1,9898 m2

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, ta được 1,99 m².

Kiểm tra các phương án: A. 3,98. B. 3,9. C. 1,99. D. 1,94.

Kết quả tính toán của chúng ta khớp với phương án C.

Đáp án: C. 1,99.

Bài toán về diện tích cỏ bị bò ăn
 

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm diện tích phần giao nhau giữa hai hình tròn:

Hình tròn thứ nhất là khoảng đất trồng cỏ, có tâm O và bán kính R=3 m.
Hình tròn thứ hai là khu vực chú bò có thể ăn cỏ, có tâm là cái cọc O′ và bán kính r=2 m (vì chú bò vươn hết cỡ cách cọc 2 m).
Khoảng cách giữa hai tâm O và O′ là d=4 m.

Diện tích bị ăn là diện tích phần giao nhau của hai hình tròn. Công thức tính diện tích phần giao nhau của hai hình tròn với bán kính R, r và khoảng cách tâm d là:

S=r2arccos(2drd2+r2−R2​)+R2arccos(2dRd2+R2−r2​)−21​(−d+r+R)(d+r−R)(d−r+R)(d+r+R) ​

Bây giờ, chúng ta thay các giá trị đã biết vào công thức:

R=3
r=2
d=4
Tính các biểu thức trong arccos:

2drd2+r2−R2​=2⋅4⋅242+22−32​=1616+4−9​=1611​
2dRd2+R2−r2​=2⋅4⋅342+32−22​=2416+9−4​=2421​=87​
Tính các biểu thức trong căn:

(−d+r+R)=(−4+2+3)=1
(d+r−R)=(4+2−3)=3
(d−r+R)=(4−2+3)=5
(d+r+R)=(4+2+3)=9
(−d+r+R)(d+r−R)(d−r+R)(d+r+R) ​=1⋅3⋅5⋅9 ​=135 ​≈11.619
Bây giờ, chúng ta tính diện tích:

S=22arccos(1611​)+32arccos(87​)−21​135 ​
S=4⋅arccos(0.6875)+9⋅arccos(0.875)−21​135 ​
S≈4⋅0.8122+9⋅0.5053−21​⋅11.619
S≈3.2488+4.5477−5.8095
S≈1.987
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, ta được S≈1.99.

Vậy diện tích cỏ bị chú bò ăn mất là khoảng 1,99 m2.

Đáp án: C. 1,99.