Để tìm nghiệm của phương trình x3−x+6=0, ta có thể thử các ước của 6 (là các ước của hệ số tự do) để tìm nghiệm nguyên, nếu có.

Các ước của 6 là pm1,pm2,pm3,pm6.

Thử với x=1: 13−1+6=1−1+6=6ne0
Thử với x=−1: (−1)3−(−1)+6=−1+1+6=6ne0
Thử với x=2: 23−2+6=8−2+6=12ne0
Thử với x=−2: (−2)3−(−2)+6=−8+2+6=0
Vậy, x=−2 là một nghiệm của phương trình.

Vì x=−2 là một nghiệm, nên (x−(−2)) hay (x+2) là một nhân tử của đa thức x3−x+6. Ta có thể dùng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner để phân tích:

Sử dụng phép chia đa thức: (x3−x+6)div(x+2)

x^2 - 2x + 3
________________
x + 2 | x^3 + 0x^2 - x + 6
-(x^3 + 2x^2)
___________
-2x^2 - x
-(-2x^2 - 4x)
___________
3x + 6
-(3x + 6)
_________
0

Vậy, x3−x+6=(x+2)(x2−2x+3)=0.

Bây giờ ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc hai x2−2x+3=0. Tính delta (Delta) của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0: Delta=b2−4ac. Ở đây, a=1,b=−2,c=3. Delta=(−2)2−4times1times3=4−12=−8.

Vì $\\Delta \< 0$, phương trình bậc hai x2−2x+3=0 không có nghiệm thực. Nó có hai nghiệm phức.

Kết luận: Phương trình x3−x+6=0 chỉ có một nghiệm thực duy nhất là mathbfx=−2.