a) Chứng minh tam giác DAB = tam giác DMB

Xét △DAB vuông tại A và △DMB vuông tại M:

BD là cạnh huyền chung.
∠ABD=∠MBD (vì BD là tia phân giác của ∠ABC).
Do đó, △DAB=△DMB (theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn).

b) Chứng minh AD bé hơn DC

Từ △DAB=△DMB (chứng minh trên), ta suy ra AD = DM (hai cạnh tương ứng).

Xét △DMC vuông tại M:

Cạnh huyền DC là cạnh lớn nhất trong tam giác vuông.
Do đó, DC>DM.
Mà AD=DM, nên AD < DC.

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và đường thẳng AB , đường thẳng BD cắt KC tại N. Chứng minh BN vuông góc KC và tam giác KDC cân tại B.

1. Chứng minh BN vuông góc KC:

Xét △BKC:

CA là đường cao ứng với cạnh BK (vì △ABC vuông tại A, nên CA⊥AB).
KM là đường cao ứng với cạnh BC (vì DM⊥BC tại M).
Giao điểm của hai đường cao CA và KM là D (D thuộc AC và D thuộc KM). Vậy, D là trực tâm của △BKC.

Vì D là trực tâm của △BKC, nên đường thẳng đi qua B và D (chính là đường thẳng BD) phải là đường cao thứ ba của △BKC. Do đó, BN ⊥ KC (vì N thuộc BD và KC).

2. Chứng minh tam giác KDC cân tại B:

Từ chứng minh trên, ta có BD là đường cao của △BKC. Mà BD cũng là tia phân giác của ∠KBC (vì ∠ABD=∠MBD và A, K cùng nằm trên một đường thẳng).

Trong △KBC, đường BD vừa là đường cao, vừa là đường phân giác. Do đó, △KBC là tam giác cân tại B. Vậy, BK = BC.

Xét △KDC: Ta có: BK=BC (chứng minh trên). Vì B là một điểm trên đường thẳng AB, và K là giao điểm của DM và AB, nên B, A, K thẳng hàng. Điều này có nghĩa là B là đỉnh của △KDC. Vì BK=BC, △KBC cân tại B. Từ đó suy ra BC=BK. Từ đây, ta có △KDC có hai cạnh BK và BC bằng nhau. (Lưu ý: Tam giác KDC không cân tại B. Phải là tam giác KBC cân tại B).

Chỉnh sửa: Đề bài hỏi chứng minh △KDC cân tại B. Điều này không đúng. Phải là △KBC cân tại B.

Chứng minh △KBC cân tại B: BD là phân giác của ∠ABC (hay ∠KBC). BD cũng là đường cao của △KBC (do BN ⊥ KC). Một tam giác có đường phân giác đồng thời là đường cao thì tam giác đó là tam giác cân. Vậy, △KBC cân tại B. Do đó, BK=BC.

Nếu đề bài thực sự hỏi △KDC cân tại B, thì đây là một yêu cầu không hợp lý với các điều kiện đã cho. Có thể có nhầm lẫn trong đề bài và ý muốn hỏi là △KBC cân tại B.

Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào khác hoặc muốn làm rõ hơn, cứ hỏi nhé!