🔷 Dữ kiện đề bài:
Hình chóp đều S.ABCDS.ABCDS.ABCD ⇒ đáy là hình vuông, đỉnh S thẳng đứng trên tâm đáy.
Cạnh đáy: AB=BC=CD=DA=6 cmAB = BC = CD = DA = 6 \, \text{cm}AB=BC=CD=DA=6cm
Góc giữa hai đường thẳng SA và SC là 120∘120^\circ120∘
(Do "góc nhìn diện [A, SD, C]" có thể hiểu là góc giữa các đường SA và SC)

✅ Bước 1: Xác định đặc điểm hình học
Vì là hình chóp đều, nên:

Đáy ABCD là hình vuông cạnh 6 cm
Tâm đáy OOO là giao điểm hai đường chéo ACACAC và BDBDBD
Đỉnh SSS nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại OOO
Vậy:

SA⃗\vec{SA}SA và SC⃗\vec{SC}SC tạo thành góc 120°, tức là ∠ASC=120∘\angle ASC = 120^\circ∠ASC=120∘

✅ Bước 2: Dựng hệ trục tọa độ
Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như sau:

Gốc tọa độ O tại tâm đáy (giao điểm AC và BD)
Đáy nằm trên mặt phẳng Oxy
Trục Oz hướng lên đỉnh S (thẳng đứng)
Khi đó:

A=(−3,−3,0)A = (-3, -3, 0)A=(−3,−3,0)
B=(3,−3,0)B = (3, -3, 0)B=(3,−3,0)
C=(3,3,0)C = (3, 3, 0)C=(3,3,0)
D=(−3,3,0)D = (-3, 3, 0)D=(−3,3,0)
O=(0,0,0)O = (0, 0, 0)O=(0,0,0)
Đỉnh S=(0,0,h)S = (0, 0, h)S=(0,0,h)

✅ Bước 3: Tính chiều cao hhh từ góc ∠ASC=120∘\angle ASC = 120^\circ∠ASC=120∘
Tính vectơ:

SA⃗=A⃗−S⃗=(−3,−3,−h),SC⃗=(3,3,−h)\vec{SA} = \vec{A} - \vec{S} = (-3, -3, -h), \quad \vec{SC} = (3, 3, -h)SA=A−S=(−3,−3,−h),SC=(3,3,−h)Góc giữa hai vectơ là 120°, nên áp dụng công thức:

cos⁡(120∘)=SA⃗⋅SC⃗∣SA⃗∣⋅∣SC⃗∣\cos(120^\circ) = \frac{\vec{SA} \cdot \vec{SC}}{|\vec{SA}| \cdot |\vec{SC}|}cos(120∘)=∣SA∣⋅∣SC∣SA⋅SC​Tính tích vô hướng:

SA⃗⋅SC⃗=(−3)(3)+(−3)(3)+(−h)(−h)=−9−9+h2=−18+h2\vec{SA} \cdot \vec{SC} = (-3)(3) + (-3)(3) + (-h)(-h) = -9 -9 + h^2 = -18 + h^2SA⋅SC=(−3)(3)+(−3)(3)+(−h)(−h)=−9−9+h2=−18+h2Độ dài:

∣SA⃗∣=∣SC⃗∣=(−3)2+(−3)2+h2=18+h2|\vec{SA}| = |\vec{SC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + h^2} = \sqrt{18 + h^2}∣SA∣=∣SC∣=(−3)2+(−3)2+h2​=18+h2​Thay vào:

cos⁡(120∘)=−18+h218+h2=−12⇒−18+h218+h2=−12\cos(120^\circ) = \frac{-18 + h^2}{18 + h^2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{-18 + h^2}{18 + h^2} = -\frac{1}{2}cos(120∘)=18+h2−18+h2​=−21​⇒18+h2−18+h2​=−21​Giải phương trình:

⇒−18+h2=−12(18+h2)⇒−36+2h2=−18−h2⇒3h2=18⇒h2=6⇒h=6\Rightarrow -18 + h^2 = -\frac{1}{2}(18 + h^2) \Rightarrow -36 + 2h^2 = -18 - h^2 \Rightarrow 3h^2 = 18 \Rightarrow h^2 = 6 \Rightarrow h = \sqrt{6}⇒−18+h2=−21​(18+h2)⇒−36+2h2=−18−h2⇒3h2=18⇒h2=6⇒h=6​
✅ Bước 4: Tính khoảng cách giữa 2 đường chéo BD và SC
Khoảng cách giữa hai đường chéo chéo nhau (BD và SC) được tính bằng công thức:

d=∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣∣u⃗×v⃗∣d = \frac{|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}d=∣u×v∣∣(u×v)⋅w∣​Trong đó:

u⃗=BD⃗=D⃗−B⃗=(−3,3,0)−(3,−3,0)=(−6,6,0)\vec{u} = \vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (-3, 3, 0) - (3, -3, 0) = (-6, 6, 0)u=BD=D−B=(−3,3,0)−(3,−3,0)=(−6,6,0)
v⃗=SC⃗=(3,3,−6)\vec{v} = \vec{SC} = (3, 3, -\sqrt{6})v=SC=(3,3,−6​)
w⃗=SB⃗=(3,−3,−6)\vec{w} = \vec{SB} = (3, -3, -\sqrt{6})w=SB=(3,−3,−6​)
Tính tích có hướng u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}u×v:

u⃗×v⃗=∣ijk−66033−6∣=i(6⋅(−6)−0)−j(−6⋅(−6)−0)+k(−6⋅3−6⋅3)\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -6 & 6 & 0 \\ 3 & 3 & -\sqrt{6} \end{vmatrix} = \mathbf{i} (6 \cdot (-\sqrt{6}) - 0) - \mathbf{j} (-6 \cdot (-\sqrt{6}) - 0) + \mathbf{k} (-6 \cdot 3 - 6 \cdot 3)u×v=​i−63​j63​k0−6​​​=i(6⋅(−6​)−0)−j(−6⋅(−6​)−0)+k(−6⋅3−6⋅3) =i(−66)−j(66)+k(−36)=(−66,−66,−36)= \mathbf{i}(-6\sqrt{6}) - \mathbf{j}(6\sqrt{6}) + \mathbf{k}(-36) = (-6\sqrt{6}, -6\sqrt{6}, -36)=i(−66​)−j(66​)+k(−36)=(−66​,−66​,−36)Tính tích vô hướng:

(u⃗×v⃗)⋅w⃗=(−66)(3)+(−66)(−3)+(−36)(−6)=−186+186+366=366(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = (-6\sqrt{6})(3) + (-6\sqrt{6})(-3) + (-36)(-\sqrt{6}) = -18\sqrt{6} + 18\sqrt{6} + 36\sqrt{6} = 36\sqrt{6}(u×v)⋅w=(−66​)(3)+(−66​)(−3)+(−36)(−6​)=−186​+186​+366​=366​Độ dài của tích có hướng:

∣u⃗×v⃗∣=(−66)2+(−66)2+(−36)2=216+216+1296=1728=243|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-6\sqrt{6})^2 + (-6\sqrt{6})^2 + (-36)^2} = \sqrt{216 + 216 + 1296} = \sqrt{1728} = 24\sqrt{3}∣u×v∣=(−66​)2+(−66​)2+(−36)2​=216+216+1296​=1728​=243​Vậy khoảng cách:

d=366243=3623=322≈2,12 cmd = \frac{36\sqrt{6}}{24\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx \boxed{2{,}12 \, \text{cm}}d=243​366​​=23​36​​=232​​≈2,12cm​
✅ Kết luận:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BDBDBD và SCSCSC là 322≈2,12 cm\boxed{\frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12 \, \text{cm}}232​​≈2,12cm​