Để chứng minh B=1+21​+31​+⋯+10001​ không phải là số tự nhiên, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử B là một số tự nhiên. Điều đó có nghĩa là khi ta quy đồng mẫu số và cộng các phân số lại, kết quả sẽ là một số nguyên.

Mẫu số chung của các phân số từ 11​ đến 10001​ sẽ là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số từ 1 đến 1000.

Xét số nguyên tố p lớn nhất sao cho p≤1000. Theo định lý Bertrand (hoặc có thể chứng minh bằng các phương pháp sơ cấp hơn cho trường hợp này), luôn tồn tại một số nguyên tố p nằm giữa 21000​=500 và 1000. Ví dụ, số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn 1000 là 997.

Khi quy đồng mẫu số cho tất cả các phân số trong tổng B, mẫu số chung sẽ là một số chia hết cho p. Tuy nhiên, chỉ có một số hạng trong tổng B có mẫu số chứa p với số mũ cao nhất mà không bị triệt tiêu bởi các mẫu số khác, đó chính là số hạng p1​ (hoặc các lũy thừa của p nếu chúng nhỏ hơn hoặc bằng 1000, nhưng vì p>500, nên 2p>1000, do đó p chỉ xuất hiện một lần trong các mẫu số từ 1 đến 1000 với số mũ cao nhất là 1).

Khi quy đồng mẫu số, tất cả các phân số n1​ (với n=p) sẽ được nhân cả tử và mẫu với một số nguyên không chia hết cho p. Riêng phân số p1​ sẽ được nhân cả tử và mẫu với tích của tất cả các số từ 1 đến 1000 chia cho p, mà tích này là một số nguyên không chia hết cho p.

Vậy, khi cộng tất cả các phân số sau khi đã quy đồng mẫu số, tử số của tổng sẽ có dạng:

T=1BCNN(1,2,...,1000)​+2BCNN(1,2,...,1000)​+⋯+pBCNN(1,2,...,1000)​+⋯+1000BCNN(1,2,...,1000)​

Tất cả các số hạng trong tổng T, trừ số hạng pBCNN(1,2,...,1000)​, đều là các số nguyên chia hết cho một số nào đó mà sau khi rút gọn với các thừa số của p trong BCNN vẫn còn lại ít nhất một thừa số không bị triệt tiêu hoàn toàn bởi p trong mẫu số ban đầu của số hạng đó.

Tuy nhiên, số hạng pBCNN(1,2,...,1000)​ sẽ là một số nguyên không chia hết cho p (vì BCNN chứa thừa số p với số mũ cao nhất là 1, và ta chia cho p).

Do đó, tử số T khi chia cho p sẽ có một số hạng không chia hết cho p và các số hạng còn lại đều chia hết cho p. Vì vậy, tổng T không chia hết cho p.

Mặt khác, mẫu số chung M=BCNN(1,2,...,1000) chắc chắn chia hết cho p.

Vậy, B=MT​, với T không chia hết cho p và M chia hết cho p. Điều này có nghĩa là phân số MT​ không thể là một số nguyên.

Do đó, giả thiết ban đầu rằng B là một số tự nhiên là sai.

Vậy, B=1+21​+31​+⋯+10001​ không phải là số tự nhiên.