Ta có bài toán:

Cho hàm số:
y = −x³+3x+3y = -x³ + 3x + 3y = −x³+3x+3Gọi (C) là đồ thị hàm số.
Gọi d: y = ax + b là đường tiếp tuyến của (C) và có hệ số góc lớn nhất.

Yêu cầu: Tính a.b

✏️ Bước 1: Đạo hàm để tìm hệ số góc tiếp tuyến
Ta đạo hàm hàm số:

y = −x³+3x+3⇒y′ = −3x2+3y = -x³ + 3x + 3 \Rightarrow y' = -3x² + 3y=−x³+3x+3⇒y′=−3x2+3Vậy đạo hàm y′ chính là hệ số góc tiếp tuyến tại điểm x, tức là:

a=y′ = −3x2+3a = y' = -3x² + 3a = y′ = −3x2+3 Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hệ số góc → Tức là tìm max của hàm số y' = -3x² + 3

✏️ Bước 2: Tìm max của y' = -3x² + 3
Hàm số bậc hai:

y′=−3x2+3y' = -3x^2 + 3y′=−3x2+3Là parabol mở xuống, có giá trị lớn nhất tại đỉnh x = 0

→ Thay x = 0 vào:

a=y′(0)=−3(0)2+3=3a = y'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3a=y′(0)=−3(0)2+3=3✅ Vậy hệ số góc lớn nhất là a = 3

✏️ Bước 3: Tìm b tương ứng tại điểm tiếp xúc x = 0
Vì tiếp tuyến tại x = 0, ta tìm giá trị y tại đó:

y(0)=−03+3×0+3=3y(0) = -0^3 + 3×0 + 3 = 3y(0)=−03+3×0+3=3Vậy điểm tiếp xúc là (0; 3), và tiếp tuyến có dạng:

y=ax+b=3x+by = ax + b = 3x + by=ax+b=3x+bThay x = 0, y = 3 vào:

3=3×0+b⇒b=33 = 3×0 + b \Rightarrow b = 33=3×0+b⇒b=3
✅ Kết luận:
a = 3
b = 3
→ Vậy ab=3×3=9ab = 3 × 3 = \boxed{9}ab=3×3=9​