Ta có:

A=92−19−210−311−⋯−92100A = 92 - \frac{1}{9} - \frac{2}{10} - \frac{3}{11} - \dots - \frac{92}{100}A=92−91​−102​−113​−⋯−10092​
B=145+150+155+⋯+1500B = \frac{1}{45} + \frac{1}{50} + \frac{1}{55} + \dots + \frac{1}{500}B=451​+501​+551​+⋯+5001​

Bước 1: Tính A

Xét biểu thức AAA:

Các số ở mẫu: 9, 10, 11, ..., 100, tức là tăng dần 1 đơn vị, từ 9 đến 100.
Các số trên tử: 1, 2, 3, ..., 92.
Nhận xét: 92 số hạng dạng: kk+8\frac{k}{k+8}k+8k​ (vì 1 chia cho 9, 2 chia cho 10, 3 chia cho 11, v.v.)

Ta viết lại mỗi phân số:

kk+8=1−8k+8\frac{k}{k+8} = 1 - \frac{8}{k+8}k+8k​=1−k+88​👉 Vì:

kk+8=(k+8)−8k+8=1−8k+8\frac{k}{k+8} = \frac{(k+8) - 8}{k+8} = 1 - \frac{8}{k+8}k+8k​=k+8(k+8)−8​=1−k+88​Vậy biểu thức A biến thành:

A=92−(∑k=192(1−8k+8))A = 92 - \left( \sum_{k=1}^{92} \left(1 - \frac{8}{k+8} \right) \right)A=92−(k=1∑92​(1−k+88​)) =92−(92−8∑k=1921k+8)= 92 - \left( 92 - 8 \sum_{k=1}^{92} \frac{1}{k+8} \right)=92−(92−8k=1∑92​k+81​) =8∑k=1921k+8= 8 \sum_{k=1}^{92} \frac{1}{k+8}=8k=1∑92​k+81​Tức là:

A=8(19+110+111+⋯+1100)A = 8 \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \dots + \frac{1}{100} \right)A=8(91​+101​+111​+⋯+1001​)
Bước 2: Tính B

Biểu thức BBB là:

B=145+150+155+⋯+1500B = \frac{1}{45} + \frac{1}{50} + \frac{1}{55} + \dots + \frac{1}{500}B=451​+501​+551​+⋯+5001​Các mẫu số cách nhau 5 đơn vị: 45, 50, 55, ..., 500.

Số lượng số hạng trong B:

Tính số hạng:
Số lượng là:

n=500−455+1=92n = \frac{500-45}{5} + 1 = 92n=5500−45​+1=92(đúng bằng 92 số hạng, khớp với số hạng trong A!)

Bước 3: So sánh A và B

Ta thấy:

Các số trong A (phần cộng) là: 19,110,…,1100\frac{1}{9}, \frac{1}{10}, \dots, \frac{1}{100}91​,101​,…,1001​ — mẫu nhỏ, phân số lớn hơn.
Các số trong B là: 145,150,…,1500\frac{1}{45}, \frac{1}{50}, \dots, \frac{1}{500}451​,501​,…,5001​ — mẫu lớn hơn, phân số nhỏ hơn.
→ Mỗi số hạng trong A lớn hơn số hạng tương ứng trong B.

Bước 4: Tính tỉ số AB\frac{A}{B}BA​

Vì:

A=8×(19+110+⋯+1100)A = 8 \times \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{100} \right)A=8×(91​+101​+⋯+1001​)gần giống tổng B nhưng phần tử trong A lớn hơn nhiều lần so với B.
Ước lượng nhanh:

Mẫu A từ 9 đến 100: mẫu nhỏ ⇒ giá trị phân số lớn.
Mẫu B từ 45 đến 500: mẫu to ⇒ giá trị nhỏ.
Ước chừng:

Một phân số 19≈0,111\frac{1}{9} \approx 0{,}11191​≈0,111, còn 145≈0,022\frac{1}{45} \approx 0{,}022451​≈0,022 → lớn hơn khoảng 5 lần.
Vậy mỗi phân số trong A lớn hơn khoảng 5 lần so với phân số trong B.

Lại nhân thêm 8 (vì A = 8 nhân tổng phân số đó).

=> Ước lượng:

AB≈8×5=40\frac{A}{B} \approx 8 \times 5 = 40BA​≈8×5=40
✅ Kết luận: A/B≈40\boxed{A/B \approx 40}A/B≈40​