Tuyệt vời! Chúng ta sẽ đi qua từng bước một cách chi tiết để bạn hiểu rõ hoàn toàn nhé.

Bước 1: Nhận diện cấu trúc của chuỗi số

Chuỗi số của chúng ta có dạng:

S=3⋅52​+5⋅72​+7⋅92​+⋯+97⋅992​

Bạn có thể thấy mỗi số hạng trong chuỗi có tử số là 2 và mẫu số là tích của hai số lẻ liên tiếp, với khoảng cách giữa chúng là 2. Cụ thể, các cặp số ở mẫu số là (3, 5), (5, 7), (7, 9), ..., (97, 99).

Bước 2: Sử dụng phương pháp phân tích thành phân số riêng

Mấu chốt của bài toán này nằm ở việc nhận ra rằng mỗi phân số có thể được tách thành hiệu của hai phân số đơn giản hơn. Xét một số hạng tổng quát của chuỗi: n(n+2)2​, trong đó n là một số lẻ.

Chúng ta muốn biểu diễn n(n+2)2​ dưới dạng nA​+n+2B​ với A và B là các hằng số cần tìm.

Để tìm A và B, ta thực hiện các bước sau:

Quy đồng mẫu số: nA​+n+2B​=n(n+2)A(n+2)+Bn​=n(n+2)An+2A+Bn​=n(n+2)(A+B)n+2A​
So sánh tử số: Vì n(n+2)(A+B)n+2A​=n(n+2)2​, nên tử số của chúng phải bằng nhau: (A+B)n+2A=2
Giải hệ phương trình: Để đẳng thức trên đúng với mọi giá trị của n, các hệ số của n ở hai vế phải bằng nhau, và các hằng số cũng phải bằng nhau. Điều này dẫn đến hệ phương trình:

A+B=0
2A=2
Từ phương trình thứ hai, ta có A=1. Thay A=1 vào phương trình thứ nhất, ta được 1+B=0, suy ra B=−1.
Vậy, chúng ta đã phân tích được mỗi số hạng:

n(n+2)2​=n1​−n+21​

Bước 3: Áp dụng phân tích vào chuỗi số

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại mỗi số hạng của chuỗi S theo dạng vừa tìm được:

3⋅52​=31​−51​
5⋅72​=51​−71​
7⋅92​=71​−91​
...
97⋅992​=971​−991​
Thay thế các số hạng này vào biểu thức của S:

S=(31​−51​)+(51​−71​)+(71​−91​)+⋯+(971​−991​)

Bước 4: Rút gọn chuỗi số (Telescoping Series)

Bạn có thể thấy một hiện tượng đặc biệt xảy ra ở đây. Các số hạng ở giữa sẽ tự động triệt tiêu lẫn nhau:

−51​ từ số hạng đầu tiên bị triệt tiêu bởi +51​ từ số hạng thứ hai.
−71​ từ số hạng thứ hai bị triệt tiêu bởi +71​ từ số hạng thứ ba.
Quá trình này tiếp tục cho đến khi −971​ từ số hạng áp cuối bị triệt tiêu bởi +971​ (nằm trong số hạng trước đó nữa).
Sau khi tất cả các số hạng trung gian bị triệt tiêu, chúng ta chỉ còn lại số hạng đầu tiên của phân số đầu tiên và số hạng thứ hai (với dấu âm) của phân số cuối cùng:

S=31​−991​

Bước 5: Tính toán kết quả cuối cùng

Để thực hiện phép trừ, chúng ta cần tìm một mẫu số chung, đó là 99.

31​=3⋅331⋅33​=9933​

Bây giờ, ta có thể thực hiện phép trừ:

S=9933​−991​=9933−1​=9932​

Vậy, tổng của chuỗi số S là 9932​.

Hy vọng phần giải thích chi tiết này giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này. Bạn có bất kỳ câu hỏi nào khác không?

Để tính giá trị của biểu thức:

S=23×5+25×7+27×9+⋯+297×99S = \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{5 \times 7} + \frac{2}{7 \times 9} + \dots + \frac{2}{97 \times 99}S=3×52​+5×72​+7×92​+⋯+97×992​Ta nhận thấy đây là một dãy tổng hợp các phân số có dạng:

S=∑k=1492(2k+1)(2k+3)S = \sum_{k=1}^{49} \frac{2}{(2k+1)(2k+3)}S=k=1∑49​(2k+1)(2k+3)2​Mỗi phân số có thể được phân tích theo dạng phân số phân rã. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng kỹ thuật phân rã thành hai phân số đơn giản hơn. Cụ thể, ta sẽ viết:

2(2k+1)(2k+3)=A2k+1+B2k+3\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}(2k+1)(2k+3)2​=2k+1A​+2k+3B​Tiến hành giải phương trình tìm giá trị của AAA và BBB, sau đó tính tổng của dãy. Để thực hiện tính toán này, mình sẽ làm phép tính ngay nhé!
 
Kết quả của tổng S=23×5+25×7+27×9+⋯+297×99S = \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{5 \times 7} + \frac{2}{7 \times 9} + \dots + \frac{2}{97 \times 99}S=3×52​+5×72​+7×92​+⋯+97×992​ là khoảng:

S≈0.3234S \approx 0.3234S≈0.3234