Để giải quyết bài toán, chúng ta cần phân tích hình học một cách chi tiết.

 a. So sánh diện tích tam giác MOB và NOC

Trong tam giác \( ABC \), ta có:

- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( MN \parallel BC \), do đó theo tính chất của các đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác, ta có:

\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}
\]

Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), ta có:

\[
AM = MB
\]

Do đó, từ tỷ lệ này, suy ra:

\[
AN = NC
\]

Điều này cho biết \( N \) cũng là trung điểm của \( AC \).

Bây giờ, hãy xem xét các tam giác \( MOB \) và \( NOC \):

- Vì \( MN \parallel BC \), theo định lý liên hệ giữa diện tích tam giác và căn bậc hai của tỉ lệ đường cao tương ứng, ta có:

\[
\frac{S_{MOB}}{S_{ABC}} = \frac{MB}{AB} = \frac{1}{2} \quad (\text{do } M \text{ là trung điểm})
\]
\[
\frac{S_{NOC}}{S_{ABC}} = \frac{NC}{AC} = \frac{1}{2} \quad (\text{do } N \text{ là trung điểm})
\]

Tổ hợp các thông tin trên cho thấy rằng:

- Diện tích tam giác \( MOB \) và \( NOC \) đều có cùng tỷ lệ với diện tích của tam giác \( ABC \), và diện tích của hai tam giác này đều bằng nhau:

\[
S_{MOB} = S_{NOC}
\]

 b. Tính \( BC \) biết \( MN = 8 \) cm

Theo định lý cơ bản về tỉ lệ, nếu \( MN \parallel BC \), thì \( \frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} \).

Vì \( AM = \frac{1}{2} AB \) (do \( M \) là trung điểm), nên tỷ lệ sẽ như sau:

\[
\frac{MN}{BC} = \frac{1/2 \cdot AB}{AB} = \frac{1}{2}
\]

Từ đó suy ra được:

\[
MN = \frac{1}{2} BC
\]
\[
BC = 2 \cdot MN
\]
\[
BC = 2 \cdot 8 \, \text{cm} = 16 \, \text{cm}
\]

 Kết luận

- Diện tích tam giác MOB và NOC bằng nhau.
- Độ dài cạnh BC là 16 cm.