Để giải quyết bài toán, chúng ta cần phân tích hình học một cách chi tiết.

 a. So sánh diện tích tam giác MOB và NOC

Trong tam giác $ABC$, ta có:

- $M$ là trung điểm của $AB$.
- $MN \parallel BC$, do đó theo tính chất của các đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác, ta có:

$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$

Vì $M$ là trung điểm của $AB$, ta có:

$AM = MB$

Do đó, từ tỷ lệ này, suy ra:

$AN = NC$

Điều này cho biết $N$ cũng là trung điểm của $AC$.

Bây giờ, hãy xem xét các tam giác $MOB$ và $NOC$:

- Vì $MN \parallel BC$, theo định lý liên hệ giữa diện tích tam giác và căn bậc hai của tỉ lệ đường cao tương ứng, ta có:

$\frac{S_{MOB}}{S_{ABC}} = \frac{MB}{AB} = \frac{1}{2} \quad (\text{do } M \text{ là trung điểm})$
$\frac{S_{NOC}}{S_{ABC}} = \frac{NC}{AC} = \frac{1}{2} \quad (\text{do } N \text{ là trung điểm})$

Tổ hợp các thông tin trên cho thấy rằng:

- Diện tích tam giác $MOB$ và $NOC$ đều có cùng tỷ lệ với diện tích của tam giác $ABC$, và diện tích của hai tam giác này đều bằng nhau:

$S_{MOB} = S_{NOC}$

 b. Tính $BC$ biết $MN = 8$ cm

Theo định lý cơ bản về tỉ lệ, nếu $MN \parallel BC$, thì $\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB}$.

Vì $AM = \frac{1}{2} AB$ (do $M$ là trung điểm), nên tỷ lệ sẽ như sau:

$\frac{MN}{BC} = \frac{1/2 \cdot AB}{AB} = \frac{1}{2}$

Từ đó suy ra được:

$MN = \frac{1}{2} BC$
$BC = 2 \cdot MN$
$BC = 2 \cdot 8 \, \text{cm} = 16 \, \text{cm}$

 Kết luận

- Diện tích tam giác MOB và NOC bằng nhau.
- Độ dài cạnh BC là 16 cm.