Định lý Fermat có hai dạng quan trọng:

 1. Định lý nhỏ Fermat (Fermat's Little Theorem):
Nếu \( p \) là một số nguyên tố và \( a \) là một số nguyên bất kỳ không chia hết cho \( p \), thì:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p)
\]

Hay nói cách khác:

\[
a^p \equiv a \ (\text{mod} \ p)
\]

Định lý này rất quan trọng trong lý thuyết số, đặc biệt trong lĩnh vực mật mã và kiểm tra số nguyên tố.

2. Định lý lớn Fermat (Fermat's Last Theorem):
Định lý này được nhà toán học Pierre de Fermat phát biểu vào năm 1637, nhưng chỉ được chứng minh đầy đủ bởi Andrew Wiles vào năm 1994. Định lý phát biểu rằng:

\[
x^n + y^n = z^n
\]

không có nghiệm nguyên dương nào thỏa mãn khi \( n \) là một số nguyên lớn hơn 2.

Nói cách khác, phương trình trên chỉ có nghiệm nguyên khi \( n = 1 \) hoặc \( n = 2 \), còn với \( n \geq 3 \), không tồn tại số nguyên dương nào thỏa mãn.

- Định lý nhỏ Fermat được sử dụng rộng rãi trong số học, mã hóa RSA và kiểm tra số nguyên tố.
- Định lý lớn Fermat là một trong những bài toán nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học, từng làm đau đầu các nhà toán học suốt hơn 350 năm trước khi được chứng minh.