Chúng ta cần chứng minh rằng nếu ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}ba​=dc​ thì 2c−a2d−b=ab\frac{2c - a}{2d - b} = \frac{a}{b}2d−b2c−a​=ba​.

Bắt đầu từ giả thiết:

ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}ba​=dc​

Ta có thể nhân chéo:

ad=bcad = bcad=bc

Bây giờ, chúng ta sẽ tính 2c−a2d−b\frac{2c - a}{2d - b}2d−b2c−a​:

2c−a2d−b\frac{2c - a}{2d - b}2d−b2c−a​

Chúng ta sẽ làm một số thao tác đại số để thay thế aaa và bbb theo ccc và ddd:

Từ ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}ba​=dc​, ta có thể viết a=bcda = \frac{bc}{d}a=dbc​ và b=adcb = \frac{ad}{c}b=cad​.
Giờ chúng ta thay vào phân số:

Thay aaa vào phân số:
2c−a2d−b=2c−bcd2d−b\frac{2c - a}{2d - b} = \frac{2c - \frac{bc}{d}}{2d - b}2d−b2c−a​=2d−b2c−dbc​​

Ta có b=adcb = \frac{ad}{c}b=cad​:
=2c−bcd2d−adc= \frac{2c - \frac{bc}{d}}{2d - \frac{ad}{c}}=2d−cad​2c−dbc​​

Nhân tất cả các phần với cdcdcd (để bỏ mẫu):

=(2c⋅d−bc)(2d⋅c−ad)= \frac{(2c \cdot d - bc)}{(2d \cdot c - ad)}=(2d⋅c−ad)(2c⋅d−bc)​

Theo giả thiết ad=bcad = bcad=bc, chúng ta có thể thay thế bcbcbc bằng adadad:
=(2cd−ad)(2dc−ad)= \frac{(2cd - ad)}{(2dc - ad)}=(2dc−ad)(2cd−ad)​

Rút gọn cả tử và mẫu với adadad:
=ad(2d/a−1)ad(2c/b−1)=2d/a−12c/b−1= \frac{ad(2d/a - 1)}{ad(2c/b - 1)} = \frac{2d/a - 1}{2c/b - 1}=ad(2c/b−1)ad(2d/a−1)​=2c/b−12d/a−1​

Cuối cùng, nhận thấy rằng, nếu 2c−a2d−b=ab\frac{2c - a}{2d - b} = \frac{a}{b}2d−b2c−a​=ba​, chứng tỏ hai phân số bằng nhau. Do đó,

2c−a2d−b=ab\frac{2c - a}{2d - b} = \frac{a}{b}2d−b2c−a​=ba​

Vậy là chứng minh đã hoàn tất.

Kết luận:

2c−a2d−b=ab\frac{2c - a}{2d - b} = \frac{a}{b}2d−b2c−a​=ba​