Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = 2a; AD = a. Tam giác(SAB) đều...

· 22:00 25/02/2025

Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = 2a; AD = a. Tam giác(SAB) đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Tính góc giữa SB,SC và mặt phẳng (ABCD)
b) Gọi I là trung điểm của BC. Tính tan góc giữa SI và mặt phẳng (ABCD)

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

3 câu trả lời 1493

Sang Phạm

9 tháng trước

1. Xác định hệ tọa độ và các điểm
Đặt hệ trục tọa độ $ Oxyz $ sao cho:
- $ A(0,0,0) $, $ B(2a,0,0) $, $ D(0,a,0) $, $ C(2a,a,0) $.
- Vì $ \triangle SAB $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, nên ta có:
- $ S $ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm của $ AB $, tức là $ M( a, 0, 0) $.
- Vì $ \triangle SAB $ đều cạnh $ 2a $, chiều cao từ $ S $ xuống $ AB $ là $ a\sqrt{3} $, nên $ S $ có tọa độ:
\[
S(a, 0, a\sqrt{3})
\]

2. Tính góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)
Vector $ \overrightarrow{SB} $:
\[
\overrightarrow{SB} = (2a-a, 0-0, 0-a\sqrt{3}) = (a,0,-a\sqrt{3})
\]

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là $ \overrightarrow{n} = (0,0,1) $.

- Góc giữa $ SB $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ là góc giữa $ \overrightarrow{SB} $ và $ \overrightarrow{n} $, xác định bởi công thức:
\[
\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SB}| |\overrightarrow{n}|}
\]
với:
\[
\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{n} = a \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-a\sqrt{3}) \cdot 1 = -a\sqrt{3}
\]
\[
|\overrightarrow{SB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{4a^2} = 2a, \quad |\overrightarrow{n}| = 1
\]

\[
\cos \theta = \frac{| -a\sqrt{3} |}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

\[
\theta = 30^\circ
\]

Vậy góc giữa $ SB $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ là $ 30^\circ $.

3. Tính góc giữa $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $
Tương tự:
- Vector $ \overrightarrow{SC} $:
\[
\overrightarrow{SC} = (2a - a, a - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (a, a, -a\sqrt{3})
\]

- Góc giữa $ \overrightarrow{SC} $ và mặt phẳng $ (ABCD) $:

\[
\cos \alpha = \frac{| \overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{n} |}{|\overrightarrow{SC}| |\overrightarrow{n}|}
\]

\[
\overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{n} = a \cdot 0 + a \cdot 0 + (-a\sqrt{3}) \cdot 1 = -a\sqrt{3}
\]

\[
|\overrightarrow{SC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{5a^2} = \sqrt{5}a
\]

\[
\cos \alpha = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}a} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}
\]

\[
\alpha = \arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)
\]

Vậy góc giữa $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ là $ \arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right) $.

---

4. Tính $ \tan $ góc giữa $ SI $ và mặt phẳng (ABCD)
- Trung điểm $ I $ của $ BC $:
\[
I = \left(\frac{2a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (a, \frac{a}{2}, 0)
\]

Vector $ \overrightarrow{SI} $:
\[
\overrightarrow{SI} = (a-a, \frac{a}{2} - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (0, \frac{a}{2}, -a\sqrt{3})
\]

- Góc giữa $ \overrightarrow{SI} $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ có **tang**:
\[
\tan \beta = \frac{|\text{Chiều cao của } SI|}{|\text{Chiều ngang của } SI|}
\]

Trong đó:
- Chiều cao theo phương $ Oz $ là $ a\sqrt{3} $.
- Chiều ngang (phần còn lại của vector) là $ \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2} = \frac{a}{2} $.

\[
\tan \beta = \frac{a\sqrt{3}}{a/2} = 2\sqrt{3}
\]

Vậy $ \tan $ góc giữa $ SI $ và mặt phẳng (ABCD) là $ 2\sqrt{3} $.

Kết luận
Góc giữa $ SB $ và mặt phẳng $ (ABCD) $: $ 30^\circ $.
Góc giữa $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $: $ \arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right) $.
$ \tan $ góc giữa $ SI $ và mặt phẳng $ (ABCD) $: $ 2\sqrt{3} $.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

hack dễ vãi

9 tháng trước

a) Tính góc giữa SB và SC với mặt phẳng (ABCD):

Do tam giác SAB đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), ta có SA = SB.
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD), do SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, H là trung điểm của AB.
Từ các điều kiện bài toán, ta có SH = √(SA² - AH²) với AH = AB/2 = a.

Ta tính:

S H = \sqrt{(S B)^{2} - (a)^{2}} = \sqrt{(a \sqrt{3})^{2} - (a)^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - a^{2}} = \sqrt{2 a^{2}} = a \sqrt{2}

Ta tính độ dài của SC:

S C = \sqrt{(S A^{2} + (S C)^{2})} = \sqrt{(a \sqrt{3})^{2} + (2 a)^{2}} = \sqrt{3 a^{2} + 4 a^{2}} = \sqrt{7 a^{2}} = a \sqrt{7}

Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD):

c o s (θ_{S B}) = \frac{S H}{S B} = \frac{a \sqrt{2}}{a \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}

Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là $θ_{S B}$ = $c o s^{- 1} (\sqrt{\frac{2}{3}})$ .

b) Tính tan góc giữa SI và mặt phẳng (ABCD):

Gọi I là trung điểm của BC, tức BI = IC = a.
SI = \sqrt{(SB)^2 + (BI)^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a
Để tính tan góc giữa SI và mặt phẳng (ABCD), ta sử dụng công thức:

t a n (θ_{S I}) = \frac{S I_{v u \hat{o} n g}}{S I_{s o n g s o n g}}

Ta tính:

S I_{v u \hat{o} n g} = S H = a \sqrt{2}

S I_{s o n g s o n g} = I H = \sqrt{(I H_{A B})^{2} + (I H_{A D})^{2}} = \sqrt{(\frac{a}{2})^{2} + a^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + a^{2}} = \sqrt{\frac{5 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}

Vậy:

t a n (θ_{S I}) = \frac{S I_{v u \hat{o} n g}}{S I_{s o n g s o n g}} = \frac{a \sqrt{2}}{\frac{a \sqrt{5}}{2}} = 2 \sqrt{\frac{2}{5}}

Góc giữa SI và mặt phẳng (ABCD) là $θ_{S I}$ = $S C = \sqrt{(S A^{2} + (S C)^{2})} = \sqrt{(a \sqrt{3})^{2} + (2 a)^{2}} = \sqrt{3 a^{2} + 4 a^{2}} = \sqrt{7 a^{2}} = a \sqrt{7}$ 0.