Để chứng minh B=1⋅2⋅3⋅⋯⋅2022⋅(1+12+13+⋯+12022)B = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 2022 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2022}\right)B=1⋅2⋅3⋅⋯⋅2022⋅(1+21​+31​+⋯+20221​) chia hết cho 2023, ta có thể viết lại B như sau:
B=2022!⋅(11+12+13+⋯+12022)B = 2022! \cdot \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2022}\right)B=2022!⋅(11​+21​+31​+⋯+20221​)
B=2022!⋅∑k=120221k=∑k=120222022!kB = 2022! \cdot \sum_{k=1}^{2022} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2022} \frac{2022!}{k}B=2022!⋅k=1∑2022​k1​=k=1∑2022​k2022!​
Ta có thể viết B như sau:
B=2022!1+2022!2+2022!3+⋯+2022!2022B = \frac{2022!}{1} + \frac{2022!}{2} + \frac{2022!}{3} + \dots + \frac{2022!}{2022}B=12022!​+22022!​+32022!​+⋯+20222022!​
Nhận xét rằng 2023 là một số nguyên tố. Theo định lý Wilson, ta có:
(p−1)!≡−1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}(p−1)!≡−1(modp)
Trong trường hợp này, p=2023p = 2023p=2023, nên:
2022!≡−1(mod2023)2022! \equiv -1 \pmod{2023}2022!≡−1(mod2023)
Điều này có nghĩa là 2022!+12022! + 12022!+1 chia hết cho 2023. Ta có thể viết:
2022!=2023k−12022! = 2023k - 12022!=2023k−1 với kkk là một số nguyên.
Ta cần chứng minh rằng B chia hết cho 2023, tức là B≡0(mod2023)B \equiv 0 \pmod{2023}B≡0(mod2023).
B=∑k=120222022!kB = \sum_{k=1}^{2022} \frac{2022!}{k}B=k=1∑2022​k2022!​
Vì 2023 là số nguyên tố, theo định lý Wilson, 2022!≡−1(mod2023)2022! \equiv -1 \pmod{2023}2022!≡−1(mod2023).
Ta có thể viết lại tổng B như sau:
B=∑k=120222022!k=∑k=120222022!(mod2023)kB = \sum_{k=1}^{2022} \frac{2022!}{k} = \sum_{k=1}^{2022} \frac{2022! \pmod{2023}}{k}B=k=1∑2022​k2022!​=k=1∑2022​k2022!(mod2023)​
Ta biết rằng 2022!≡−1(mod2023)2022! \equiv -1 \pmod{2023}2022!≡−1(mod2023), vậy:
B≡∑k=12022−1k(mod2023)B \equiv \sum_{k=1}^{2022} \frac{-1}{k} \pmod{2023}B≡k=1∑2022​k−1​(mod2023)
B≡−∑k=120221k(mod2023)B \equiv -\sum_{k=1}^{2022} \frac{1}{k} \pmod{2023}B≡−k=1∑2022​k1​(mod2023)
B≡−(1+12+13+⋯+12022)(mod2023)B \equiv -\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2022}\right) \pmod{2023}B≡−(1+21​+31​+⋯+20221​)(mod2023)
Ta cần chứng minh B≡0(mod2023)B \equiv 0 \pmod{2023}B≡0(mod2023), tức là:
∑k=120222022!k≡0(mod2023)\sum_{k=1}^{2022} \frac{2022!}{k} \equiv 0 \pmod{2023}k=1∑2022​k2022!​≡0(mod2023)
∑k=120222022!k≡∑k=12022(−1)k−1≡−∑k=12022k−1≡0(mod2023)\sum_{k=1}^{2022} \frac{2022!}{k} \equiv \sum_{k=1}^{2022} (-1) k^{-1} \equiv - \sum_{k=1}^{2022} k^{-1} \equiv 0 \pmod{2023}k=1∑2022​k2022!​≡k=1∑2022​(−1)k−1≡−k=1∑2022​k−1≡0(mod2023)
Do đó, ta cần chứng minh ∑k=120221k≡0(mod2023)\sum_{k=1}^{2022} \frac{1}{k} \equiv 0 \pmod{2023}∑k=12022​k1​≡0(mod2023).
Vì 2023 là số nguyên tố, tập các số {1,2,…,2022}\{1, 2, \dots, 2022\}{1,2,…,2022} tạo thành một nhóm nhân modulo 2023. Do đó, mỗi số kkk trong tập này đều có một nghịch đảo duy nhất k−1k^{-1}k−1 modulo 2023.
Do 2023 là số nguyên tố lớn hơn 2, nên 2023 là số lẻ.
∑k=120221k=∑k=12022k−1(mod2023)\sum_{k=1}^{2022} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2022} k^{-1} \pmod{2023}k=1∑2022​k1​=k=1∑2022​k−1(mod2023)
Ta biết rằng nếu kkk là một số từ 1 đến 2022, thì (2023−k)(2023-k)(2023−k) cũng là một số từ 1 đến 2022. Hơn nữa, k−1+(2023−k)−1≡k−1−k−1≡0(mod2023)k^{-1} + (2023-k)^{-1} \equiv k^{-1} - k^{-1} \equiv 0 \pmod{2023}k−1+(2023−k)−1≡k−1−k−1≡0(mod2023).
Vì vậy, ta có thể ghép các số từ 1 đến 2022 thành các cặp có tổng bằng 0 modulo 2023. Do đó, tổng của tất cả các nghịch đảo này là 0 modulo 2023.
∑k=12022k−1≡0(mod2023)\sum_{k=1}^{2022} k^{-1} \equiv 0 \pmod{2023}k=1∑2022​k−1≡0(mod2023)
Vậy, B≡−∑k=12022k−1≡−0≡0(mod2023)B \equiv - \sum_{k=1}^{2022} k^{-1} \equiv - 0 \equiv 0 \pmod{2023}B≡−∑k=12022​k−1≡−0≡0(mod2023).
Vậy, B chia hết cho 2023.

Final Answer: The final answer is $\boxed{B chia hết cho 2023}$