Giải bài toán
a) Chứng minh A = (1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹) chia hết cho 3
Cách 1: Nhóm các số hạng:

Ta nhóm A thành các nhóm, mỗi nhóm có 2 số hạng: A = (1 + 2) + (2² + 2³) + ... + (2⁹⁸ + 2⁹⁹) = 3 + 2²(1 + 2) + ... + 2⁹⁸(1 + 2) = 3 + 2² * 3 + ... + 2⁹⁸ * 3 = 3 * (1 + 2² + ... + 2⁹⁸)
Vì 3 * (1 + 2² + ... + 2⁹⁸) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.

Cách 2: Sử dụng đồng dư:

Ta có: 2 ≡ -1 (mod 3) => 2² ≡ (-1)² ≡ 1 (mod 3) => 2³ ≡ (-1)³ ≡ -1 (mod 3) ... Như vậy, các số hạng của A khi chia cho 3 sẽ có số dư lần lượt là 1, -1, 1, -1, ... Khi cộng các số dư lại, ta được số dư là 0. Vậy A chia hết cho 3.
b) và c) Chứng minh C = 1 + 3 + 3² + ... + 3⁹⁹ chia hết cho 4
Cách làm tương tự:

Nhóm các số hạng: C = (1 + 3) + (3² + 3³) + ... + (3⁹⁸ + 3⁹⁹) = 4 + 3²(1 + 3) + ... + 3⁹⁸(1 + 3) = 4 + 3² * 4 + ... + 3⁹⁸ * 4 = 4 * (1 + 3² + ... + 3⁹⁸)
Vì 4 * (1 + 3² + ... + 3⁹⁸) chia hết cho 4 nên C chia hết cho 4.

Kết luận:

Cả A và C đều chia hết cho số mà chúng ta muốn chứng minh. Điều này được chứng minh bằng cách nhóm các số hạng và sử dụng tính chất chia hết.