Hàm số y= x-3 / x³-3mx²+(2m²+1)x-m . Số giá trị nguyen của m thuộc đoạn -2020 đến 2020 để dồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận là

C11-31- Hoàng Nhi Hỏi từ APP VIETJACK

· 20:48 30/09/2024

Trả Lời (+5 điểm)

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 342

CEO Tập Đoàn Học Bá ><ヾ(•ω•`)o

1 năm trước

Để xác định số giá trị nguyên của \( m \) thuộc đoạn \([-2020, 2020]\) để đồ thị hàm số
\[
y = \frac{x - 3}{x^3 - 3mx^2 + (2m^2 + 1)x - m}
\]
có 4 đường tiệm cận, trước tiên, ta cần phân tích mẫu số của hàm số này.

Mẫu số là
\[
P(x) = x^3 - 3mx^2 + (2m^2 + 1)x - m.
\]
Hàm số có tiệm cận đứng tại các giá trị \( x \) sao cho \( P(x) = 0 \). Để hàm số có 4 đường tiệm cận, đa thức \( P(x) \) phải có 3 nghiệm thực phân biệt (tiệm cận đứng) và một nghiệm kép (tiệm cận ngang), tổng cộng là 4 đường tiệm cận.

Điều kiện để \( P(x) \) có 3 nghiệm thực phân biệt là:
- Đạo hàm \( P'(x) \) phải có 2 nghiệm (điều này đảm bảo \( P(x) \) có 3 nghiệm thực khác nhau nhờ vào Định lý vai trò).

Ta cần tìm điều kiện cho \( P(x) \) để nó có 3 nghiệm thực phân biệt. Đầu tiên, tính đạo hàm:
\[
P'(x) = 3x^2 - 6mx + (2m^2 + 1).
\]
Giải phương trình bậc hai \( P'(x) = 0 \) sẽ giúp chúng ta tìm các điểm cực trị. Để \( P'(x) = 0 \) có 2 nghiệm thực, điều kiện cần thiết là:
\[
\Delta = (-6m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2m^2 + 1) > 0.
\]
Tính toán \(\Delta\):
\[
\Delta = 36m^2 - 12(2m^2 + 1) = 36m^2 - 24m^2 - 12 = 12m^2 - 12 > 0.
\]
Để điều này xảy ra, ta có:
\[
12m^2 > 12 \implies m^2 > 1 \implies |m| > 1.
\]
Do đó, \( m \) phải nằm ngoài khoảng \((-1, 1)\) để \( P'(x) \) có 2 nghiệm thực.

Xét khoảng \([-2020, 2020]\):
- Giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \([-2020, -1]\) và \([1, 2020]\).

Ta tính số nguyên trong các khoảng này:
- Trong khoảng \([-2020, -1]\): có \( -1 - (-2020) + 1 = 2020 \) giá trị.
- Trong khoảng \([1, 2020]\): có \( 2020 - 1 + 1 = 2020 \) giá trị.

Tổng số giá trị nguyên của \( m \) là \( 2020 + 2020 = 4040 \).

Vậy số giá trị nguyên của \( m \) thuộc đoạn \([-2020, 2020]\) để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận là \( \boxed{4040} \).

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời