Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

**Cực trị** là một khái niệm trong toán học, đặc biệt trong phân tích hàm số, dùng để chỉ các giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà hàm số có thể đạt được trong một khoảng hay miền xác định.

### **1. Cực trị là gì?**

- **Cực đại (Local Maximum):** Điểm \( x_0 \) là điểm cực đại nếu giá trị của hàm số \( f(x) \) tại \( x_0 \) lớn hơn hoặc bằng giá trị của hàm số tại tất cả các điểm lân cận trong một khoảng nhỏ quanh \( x_0 \). Nói cách khác, trong một khoảng nhỏ xung quanh \( x_0 \), \( f(x_0) \) là giá trị lớn nhất.

- **Cực tiểu (Local Minimum):** Điểm \( x_0 \) là điểm cực tiểu nếu giá trị của hàm số \( f(x) \) tại \( x_0 \) nhỏ hơn hoặc bằng giá trị của hàm số tại tất cả các điểm lân cận trong một khoảng nhỏ quanh \( x_0 \). Nói cách khác, trong một khoảng nhỏ xung quanh \( x_0 \), \( f(x_0) \) là giá trị nhỏ nhất.

- **Cực đại toàn cục (Global Maximum):** Điểm \( x_0 \) là điểm cực đại toàn cục nếu giá trị của hàm số \( f(x_0) \) là giá trị lớn nhất trên toàn bộ miền xác định của hàm số.

- **Cực tiểu toàn cục (Global Minimum):** Điểm \( x_0 \) là điểm cực tiểu toàn cục nếu giá trị của hàm số \( f(x_0) \) là giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ miền xác định của hàm số.

### **2. Cách làm bài cực trị:**

Để tìm cực trị của hàm số, bạn có thể thực hiện các bước sau:

1. **Tìm đạo hàm của hàm số:**
- Tính đạo hàm \( f'(x) \) của hàm số \( f(x) \).

2. **Tìm nghiệm của đạo hàm:**
- Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm nghi ngờ có thể là điểm cực trị.

3. **Xét dấu của đạo hàm bậc hai (hoặc sử dụng các phương pháp khác):**
- Tính đạo hàm bậc hai \( f''(x) \).
- Sử dụng dấu của \( f''(x) \) để xác định tính chất của điểm nghi ngờ:
- Nếu \( f''(x) > 0 \), điểm \( x \) là điểm cực tiểu.
- Nếu \( f''(x) < 0 \), điểm \( x \) là điểm cực đại.
- Nếu \( f''(x) = 0 \), cần phải kiểm tra thêm hoặc sử dụng các phương pháp khác (như phương pháp xét dấu của đạo hàm bậc ba hoặc phân tích thêm).

4. **Kiểm tra các điểm biên (nếu có) và các điểm cực trị toàn cục:**
- Đối với hàm số có miền xác định cụ thể, hãy kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của miền để xác định cực trị toàn cục.

### **3. Cực trị bao gồm những gì?**

Cực trị bao gồm:

- **Cực đại:** Điểm tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất so với các điểm lân cận (có thể là cực đại địa phương hoặc cực đại toàn cục).
- **Cực tiểu:** Điểm tại đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất so với các điểm lân cận (có thể là cực tiểu địa phương hoặc cực tiểu toàn cục).

### **Ví dụ:**

Giả sử hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \).

1. **Tính đạo hàm:**
\[
f'(x) = 3x^2 - 6x
\]

2. **Tìm nghiệm của đạo hàm:**
\[
3x^2 - 6x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2
\]

3. **Xét dấu của đạo hàm bậc hai:**
\[
f''(x) = 6x - 6
\]
- Tại \( x = 0 \), \( f''(0) = -6 < 0 \) nên \( x = 0 \) là điểm cực đại.
- Tại \( x = 2 \), \( f''(2) = 6 > 0 \) nên \( x = 2 \) là điểm cực tiểu.

4. **Xác định cực trị toàn cục:**
- Xác định giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và điểm biên (nếu có) để so sánh và xác định cực trị toàn cục.

Bằng cách làm theo các bước trên, bạn có thể xác định các điểm cực trị của hàm số và phân tích tính chất của chúng.

...Xem thêm

Answer 2