Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

**Cực trị** trong toán học là các giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà một hàm số có thể đạt được trong một khoảng nào đó. Cụ thể, nếu hàm số \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một điểm nào đó trong miền xác định của nó, điểm đó gọi là điểm cực trị.

### Các loại cực trị:

1. **Cực đại (Local Maximum):** Điểm \( x_0 \) là điểm cực đại của hàm số \( f(x) \) nếu tồn tại một khoảng lân cận của \( x_0 \) mà trong khoảng đó giá trị của hàm số tại \( x_0 \) lớn hơn hoặc bằng giá trị của hàm số tại mọi điểm khác.

2. **Cực tiểu (Local Minimum):** Điểm \( x_0 \) là điểm cực tiểu của hàm số \( f(x) \) nếu tồn tại một khoảng lân cận của \( x_0 \) mà trong khoảng đó giá trị của hàm số tại \( x_0 \) nhỏ hơn hoặc bằng giá trị của hàm số tại mọi điểm khác.

3. **Cực đại toàn cục (Global Maximum):** Điểm \( x_0 \) là điểm cực đại toàn cục của hàm số \( f(x) \) nếu \( f(x_0) \) là giá trị lớn nhất của hàm số trên toàn miền xác định.

4. **Cực tiểu toàn cục (Global Minimum):** Điểm \( x_0 \) là điểm cực tiểu toàn cục của hàm số \( f(x) \) nếu \( f(x_0) \) là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên toàn miền xác định.

### Cách tìm cực trị của hàm số:

1. **Tìm đạo hàm của hàm số:**
- Tính đạo hàm \( f'(x) \) của hàm số \( f(x) \).

2. **Tìm nghiệm của đạo hàm:**
- Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm \( x \) mà tại đó đạo hàm bằng 0. Đây là các điểm nghi ngờ có thể là cực trị.

3. **Xét dấu của đạo hàm:**
- Tính đạo hàm bậc hai \( f''(x) \) tại các điểm nghi ngờ.
- Sử dụng dấu của \( f''(x) \):
- Nếu \( f''(x) > 0 \), thì \( x \) là điểm cực tiểu.
- Nếu \( f''(x) < 0 \), thì \( x \) là điểm cực đại.
- Nếu \( f''(x) = 0 \), cần phải kiểm tra thêm hoặc sử dụng các phương pháp khác để xác định tính chất của điểm đó.

4. **Xác định cực trị toàn cục:**
- Đối với các hàm số không có giới hạn miền xác định hoặc miền xác định không bị giới hạn, cần phải kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên (nếu có) để xác định cực trị toàn cục.

### Ví dụ:

Giả sử hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \).

1. **Tính đạo hàm:**
\[
f'(x) = 3x^2 - 6x
\]

2. **Tìm nghiệm của đạo hàm:**
\[
3x^2 - 6x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2
\]

3. **Xét dấu của đạo hàm bậc hai:**
\[
f''(x) = 6x - 6
\]
- Tại \( x = 0 \), \( f''(0) = -6 < 0 \) nên \( x = 0 \) là điểm cực đại.
- Tại \( x = 2 \), \( f''(2) = 6 > 0 \) nên \( x = 2 \) là điểm cực tiểu.

4. **Xác định cực trị toàn cục:**
- Với hàm số này không có điểm biên cụ thể, vì vậy, chỉ cần xác định giá trị tại các điểm cực trị: tại \( x = 0 \), \( f(0) = 2 \), và tại \( x = 2 \), \( f(2) = -2 \).

Như vậy, điểm cực đại của hàm số là \( x = 0 \) với giá trị \( f(0) = 2 \), và điểm cực tiểu là \( x = 2 \) với giá trị \( f(2) = -2 \).

...Xem thêm

Answer 2