Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng các định luật về trao đổi nhiệt, cân bằng nhiệt, và các định luật về áp suất. Sau đây là cách tiếp cận từng câu hỏi.

### 1. Lượng nước đá tối đa có thể có trong bình là bao nhiêu?

Đầu tiên, lượng nước đá tối đa có thể có trong bình là khi nhiệt lượng từ nước nóng (ở nhiệt độ \( t_3 = 120 ^\circ C \)) bị mất hoàn toàn cho khối nước đá, khiến nó tan chảy và cân bằng nhiệt với nước đá ở nhiệt độ \( t_2 = -5 ^\circ C \).

#### Các bước chính:
- **Tính nhiệt lượng cần thiết để đưa nước đá từ \( t_2 = -5 ^\circ C \) lên 0°C**:

\[
Q_{\text{nóng lên}} = m_2 \cdot c_2 \cdot \Delta T_1 = m_2 \cdot c_2 \cdot (0 - t_2)
\]

- **Tính nhiệt lượng để làm tan chảy nước đá**:

\[
Q_{\text{tan chảy}} = m_{\text{tan}} \cdot \lambda
\]

- **Tính nhiệt lượng mà nước nóng mất đi để giảm nhiệt độ từ 120°C xuống nhiệt độ cân bằng**:

\[
Q_{\text{giảm nhiệt}} = m_{\text{nước}} \cdot c_3 \cdot \Delta T_3 = m_{\text{nước}} \cdot c_3 \cdot (t_3 - t_{\text{cân bằng}})
\]

Sau đó, so sánh nhiệt lượng này để tìm ra khối lượng nước đá tối đa có thể tan chảy. Giải phương trình cân bằng nhiệt để tìm khối lượng nước đá tối đa.

### 2. Chứng tỏ rằng nước đá luôn tiếp xúc với đáy bình.

Vì nước đá có nhiệt độ thấp hơn so với khối nhôm và nước, nó luôn bị đóng băng dưới điều kiện cách nhiệt lý tưởng. Nước đá có khối lượng riêng nhỏ hơn nước (0,9 g/cm³ so với 1,0 g/cm³), nên khi chuyển từ nước lỏng sang nước đá, thể tích của nó tăng lên. Do đó, nước đá luôn chiếm không gian phía dưới bình, ép sát vào đáy bình và nhôm.

### 3. Trạng thái cân bằng nhiệt sau một thời gian dài

#### a) Nhiệt độ của khối nhôm khi cân bằng nhiệt là bao nhiêu?

Áp dụng nguyên tắc bảo toàn năng lượng, ta có:

- Nhiệt lượng khối nhôm mất hoặc nhận là \( Q_{\text{nhôm}} = m_1 \cdot c_1 \cdot \Delta T \)
- Nhiệt lượng nước nóng mất là \( Q_{\text{nước}} = m_{\text{nước}} \cdot c_3 \cdot \Delta T \)

Giả sử nhiệt độ cân bằng là \( T_{\text{cân bằng}} \), ta viết phương trình cân bằng nhiệt:

\[
Q_{\text{nhôm}} + Q_{\text{nước}} + Q_{\text{nước đá}} = 0
\]

Giải phương trình để tìm \( T_{\text{cân bằng}} \).

#### b) Khối nhôm dịch chuyển so với vị trí ban đầu một đoạn bao nhiêu, và theo chiều nào?

Do nước đá có khối lượng riêng nhỏ hơn nước, khi nước đá hình thành nhiều hơn, thể tích của nó tăng, làm dịch chuyển khối nhôm lên phía trên. Để tính đoạn dịch chuyển, ta dùng:

\[
\Delta V = m_{\text{nước đá}} \cdot \left( \frac{1}{D_{\text{nước đá}}} - \frac{1}{D_{\text{nước}}} \right)
\]

Khối nhôm sẽ di chuyển một khoảng tương ứng với thể tích thay đổi này. Do bình có tiết diện S, đoạn dịch chuyển là:

\[
\Delta h = \frac{\Delta V}{S}
\]

#### c) Áp suất ở đáy khối nhôm thay đổi bao nhiêu so với lúc vừa mới đổ nước vào?

Áp suất ở đáy được tính bởi công thức:

\[
P = \frac{F}{S} = \frac{m_{\text{nhôm}} + m_{\text{nước}}}{S} \cdot g
\]

Khi nước đá tan ra hoặc đông lại, khối lượng của nước không thay đổi, do đó tổng áp suất chỉ thay đổi khi có sự thay đổi về phân bố khối lượng do sự giãn nở của nước đá.