Chúng ta hãy giải bài toán này theo từng phần như sau:

**Bài toán:**

Khi chia số tự nhiên \( a \) cho 36, ta được số dư 12. Chứng tỏ rằng:
a) \( a \) chia hết cho 4
b) \( a \) không chia hết cho 9

**Giải:**

**a) Chứng tỏ rằng \( a \) chia hết cho 4:**

Đầu tiên, chúng ta biết rằng khi chia \( a \) cho 36, số dư là 12. Điều này có thể viết thành phương trình:

\[ a = 36k + 12 \]

với \( k \) là một số nguyên.

Chúng ta cần chứng minh rằng \( a \) chia hết cho 4. Để làm điều này, ta sẽ kiểm tra \( a \) modulo 4:

\[ a = 36k + 12 \]

Ta biết rằng:

\[ 36 \equiv 0 \pmod{4} \]
\[ 12 \equiv 0 \pmod{4} \]

Do đó:

\[ 36k \equiv 0 \pmod{4} \]
\[ 12 \equiv 0 \pmod{4} \]

Như vậy:

\[ a = 36k + 12 \equiv 0 + 0 = 0 \pmod{4} \]

Do đó, \( a \) chia hết cho 4.

**b) Chứng tỏ rằng \( a \) không chia hết cho 9:**

Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng \( a \) không chia hết cho 9. Chúng ta sẽ kiểm tra \( a \) modulo 9:

Chúng ta biết rằng:

\[ a = 36k + 12 \]

Ta cần tính:

\[ 36 \equiv 0 \pmod{9} \]
\[ 12 \equiv 3 \pmod{9} \]

Do đó:

\[ 36k \equiv 0 \pmod{9} \]
\[ 12 \equiv 3 \pmod{9} \]

Vậy:

\[ a = 36k + 12 \equiv 0 + 3 = 3 \pmod{9} \]

Do đó, số dư khi chia \( a \) cho 9 là 3, có nghĩa là \( a \) không chia hết cho 9 (vì \( a \) có số dư 3, không phải là 0).

**Tóm lại:**
a) \( a \) chia hết cho 4.
b) \( a \) không chia hết cho 9.