Để giải bài toán này, ta cần phân tích quá trình phản ứng của các muối carbonate với axit hydrochloric (HCl) và tính toán khối lượng của các muối khan thu được sau khi cô cạn dung dịch.

**Bước 1: Viết các phương trình phản ứng**

1. **Muối carbonate của kim loại hóa trị I:**

Muối này có dạng \(M_2CO_3\), với \(M\) là kim loại hóa trị I. Phản ứng với HCl như sau:
\[ M_2CO_3 + 2HCl \rightarrow 2MCl + CO_2 + H_2O \]

2. **Muối carbonate của kim loại hóa trị II:**

Muối này có dạng \(MCO_3\), với \(M\) là kim loại hóa trị II. Phản ứng với HCl như sau:
\[ MCO_3 + 2HCl \rightarrow MCl_2 + CO_2 + H_2O \]

**Bước 2: Tính mol khí CO₂ sinh ra**

Theo bài toán, tổng số mol khí CO₂ sinh ra là 0,2 mol.

**Bước 3: Xác định số mol của mỗi muối ban đầu**

Gọi số mol của muối carbonate của kim loại hóa trị I là \(n_1\) và số mol của muối carbonate của kim loại hóa trị II là \(n_2\).

Từ các phương trình phản ứng, ta biết:
- Mỗi mol muối carbonate của kim loại hóa trị I sinh ra 1 mol CO₂.
- Mỗi mol muối carbonate của kim loại hóa trị II sinh ra 1 mol CO₂.

Vì vậy:
\[ n_1 + n_2 = 0,2 \text{ mol} \]

**Bước 4: Tính khối lượng của các muối ban đầu**

Gọi \(m_1\) là khối lượng muối carbonate của kim loại hóa trị I và \(m_2\) là khối lượng muối carbonate của kim loại hóa trị II.

Khối lượng muối của kim loại hóa trị I có thể tính được bằng:
\[ m_1 = n_1 \times M_1 \]
với \(M_1\) là khối lượng mol của muối carbonate của kim loại hóa trị I.

Khối lượng muối của kim loại hóa trị II có thể tính được bằng:
\[ m_2 = n_2 \times M_2 \]
với \(M_2\) là khối lượng mol của muối carbonate của kim loại hóa trị II.

Tổng khối lượng hỗn hợp muối là 23,8 g, vì vậy:
\[ m_1 + m_2 = 23,8 \text{ g} \]

**Bước 5: Tính khối lượng muối khan sau khi cô cạn dung dịch**

Sau phản ứng, các muối clorua (MCl và MCl₂) còn lại trong dung dịch. Khối lượng của các muối khan sau phản ứng chính là tổng khối lượng các muối clorua này.

Do lượng CO₂ sinh ra từ các phản ứng đã biết là 0,2 mol, khối lượng các muối khan không thay đổi, nên tổng khối lượng muối ban đầu chính là khối lượng muối khan sau khi cô cạn dung dịch.

**Kết luận:**

Khối lượng muối khan thu được sau khi cô cạn dung dịch là **23,8 g**.