Để giải bài toán về con lắc lò xo dao động điều hòa, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### a. Viết phương trình dao động của con lắc

1. **Tìm độ cứng của lò xo (k):**

Chiều dài lò xo chưa treo vật là \( l_0 = 10 \) cm, và chiều dài lò xo khi treo vật tại vị trí cân bằng là \( l_c = 12 \) cm. Do đó, độ dãn của lò xo khi vật treo ở vị trí cân bằng là:

\[
\Delta l = l_c - l_0 = 12 \text{ cm} - 10 \text{ cm} = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}
\]

Lực kéo về của lò xo tại vị trí cân bằng bằng trọng lực của vật:

\[
F_{\text{kéo}} = m g = k \Delta l
\]

Do đó, độ cứng của lò xo \( k \) là:

\[
k = \frac{m g}{\Delta l}
\]

2. **Tìm tần số góc \( \omega \):**

Tần số góc của dao động điều hòa là:

\[
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
\]

Thay \( k \) vào:

\[
\omega = \sqrt{\frac{m g}{m \Delta l}} = \sqrt{\frac{g}{\Delta l}}
\]

Thay giá trị \( g = 10 \text{ m/s}^2 \) và \( \Delta l = 0.02 \text{ m} \):

\[
\omega = \sqrt{\frac{10}{0.02}} = \sqrt{500} = 10 \sqrt{5} \text{ rad/s}
\]

3. **Tìm biên độ dao động \( A \):**

Vận tốc khi kéo xuống vị trí cân bằng là 30 cm/s = 0.3 m/s. Sử dụng công thức bảo toàn cơ năng, tổng cơ năng tại vị trí này là:

\[
\frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m v^2
\]

Thay \( k = \frac{m g}{\Delta l} \) và \( v = 0.3 \text{ m/s} \):

\[
\frac{1}{2} \frac{m g}{\Delta l} A^2 = \frac{1}{2} m v^2
\]

\[
\frac{g}{\Delta l} A^2 = v^2
\]

\[
A^2 = \frac{v^2 \Delta l}{g}
\]

\[
A^2 = \frac{(0.3)^2 \times 0.02}{10} = \frac{0.0006}{10} = 0.00006
\]

\[
A = \sqrt{0.00006} = 0.007746 \text{ m} \approx 7.746 \text{ mm}
\]

Phương trình dao động của con lắc là:

\[
x(t) = A \cos(\omega t + \phi)
\]

Với \( A = 0.02 \text{ m} \) và \( \omega = 10 \sqrt{5} \text{ rad/s} \), \( \phi \) được xác định theo điều kiện đầu. Tại \( t = 0 \), \( x(0) = -0.02 \text{ m} \) và vận tốc \( v(0) = 0.3 \text{ m/s} \), vậy \( \phi = \pi \).

Do đó, phương trình dao động là:

\[
x(t) = 0.02 \cos(10 \sqrt{5} t + \pi) \approx -0.02 \cos(10 \sqrt{5} t)
\]

### b. Tỉ số giữa thế năng và cơ năng tại \( t = 0.2 \text{ s} \)

1. **Tính thế năng và cơ năng:**

Thế năng tại thời điểm \( t \) là:

\[
E_p(t) = \frac{1}{2} k x^2(t)
\]

Cơ năng tổng cộng là:

\[
E_{\text{total}} = \frac{1}{2} k A^2
\]

Tỉ số giữa thế năng và cơ năng là:

\[
\text{Tỉ số} = \frac{E_p(t)}{E_{\text{total}}} = \frac{\frac{1}{2} k x^2(t)}{\frac{1}{2} k A^2} = \frac{x^2(t)}{A^2}
\]

Tại \( t = 0.2 \text{ s} \):

\[
x(0.2) = 0.02 \cos(10 \sqrt{5} \times 0.2)
\]

Tính:

\[
x(0.2) = 0.02 \cos(2 \sqrt{5})
\]

Tỉ số:

\[
\text{Tỉ số} = \frac{x^2(0.2)}{A^2}
\]

### c. Tỉ số giữa lực đàn hồi cực đại và lực kéo về cực đại

1. **Lực đàn hồi cực đại và lực kéo về cực đại:**

- Lực đàn hồi cực đại là \( F_{\text{kéo cực đại}} = k A \).
- Lực kéo về cực đại là lực khi vật đang ở biên của dao động, và bằng:

\[
F_{\text{kéo cực đại}} = k A
\]

- Do đó, tỉ số giữa lực đàn hồi cực đại và lực kéo về cực đại là:

\[
\text{Tỉ số} = \frac{F_{\text{kéo cực đại}}}{F_{\text{kéo cực đại}}} = 1
\]

### Tóm tắt

a. Phương trình dao động là \( x(t) = -0.02 \cos(10 \sqrt{5} t) \).

b. Tỉ số giữa thế năng và cơ năng tại \( t = 0.2 \text{ s} \) là \( \frac{x^2(t)}{A^2} \).

c. Tỉ số giữa lực đàn hồi cực đại và lực kéo về cực đại là 1.