### a. Xác định vector cảm ứng từ \( \mathbf{B} \) do dây dẫn dài vô hạn gây ra tại điểm \( M \)

**Giả sử:**
- Dây dẫn AB là một đường thẳng dài vô hạn.
- Dòng điện chạy qua dây dẫn có cường độ \( I_1 = 0,5 \, \text{A} \).
- Điểm \( M \) cách dây dẫn một khoảng \( r = 30 \, \text{cm} = 0,3 \, \text{m} \).

**Công thức tính cảm ứng từ do dây dẫn thẳng dài vô hạn tại điểm M:**

\[
B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}
\]

Trong đó:
- \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m}/\text{A} \) là độ từ thẩm của chân không (hoặc không khí).
- \( I = 0,5 \, \text{A} \) là cường độ dòng điện.
- \( r = 0,3 \, \text{m} \) là khoảng cách từ điểm M đến dây dẫn.

Thay số vào công thức:

\[
B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 0,5}{2\pi \times 0,3} = \frac{2 \times 10^{-7}}{0,3} \approx 6,67 \times 10^{-7} \, \text{T}
\]

**Hướng của vector \( \mathbf{B} \):**
- Hướng của \( \mathbf{B} \) tuân theo quy tắc nắm tay phải: nếu nắm tay phải sao cho ngón cái chỉ theo hướng dòng điện, thì các ngón còn lại chỉ hướng của vector \( \mathbf{B} \).
- Do đó, tại điểm \( M \), vector \( \mathbf{B} \) sẽ có hướng vuông góc với mặt phẳng chứa dây dẫn và điểm \( M \), quay theo chiều kim đồng hồ (nhìn từ phía dây dẫn).

### b. Xác định vector cảm ứng từ \( \mathbf{B} \) do dây dẫn dài hữu hạn (AB = 5 m) tại điểm \( N \)

**Giả sử:**
- Đoạn dây AB có chiều dài \( l = 5 \, \text{m} \).
- Điểm \( N \) nằm trên đường trung trực của đoạn dây AB, cách đoạn dây một khoảng \( d = 1 \, \text{m} \).

**Công thức tính cảm ứng từ \( B \) do đoạn dây dẫn dài hữu hạn tại điểm \( N \):**

\[
B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} \left(\sin\theta_1 + \sin\theta_2\right)
\]

Trong đó:
- \( \theta_1 \) và \( \theta_2 \) là các góc giữa đường nối từ hai đầu dây dẫn đến điểm N với phương vuông góc với dây dẫn.
- \( \theta_1 = \theta_2 \) do \( N \) nằm trên đường trung trực của đoạn dây dẫn.

Từ giả thiết \( AB = 5 \, \text{m} \), và \( d = 1 \, \text{m} \), ta có:

\[
\theta_1 = \theta_2 = \arctan\left(\frac{l/2}{d}\right) = \arctan\left(\frac{2,5}{1}\right) \approx 68,2^\circ
\]

Do đó:

\[
B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 0,5}{4\pi \times 1} \left(\sin 68,2^\circ + \sin 68,2^\circ\right)
\]

\[
B = 0,5 \times 10^{-7} \times 2 \times \sin 68,2^\circ
\]

\[
B \approx 10^{-7} \times 2 \times 0,927 \approx 1,854 \times 10^{-7} \, \text{T}
\]

**Hướng của vector \( \mathbf{B} \):**
- Theo quy tắc nắm tay phải, vector \( \mathbf{B} \) sẽ hướng vào hoặc ra khỏi mặt phẳng chứa đoạn dây và điểm \( N \), cụ thể là vuông góc với mặt phẳng đó.

Tóm lại:
- \( B_M \approx 6,67 \times 10^{-7} \, \text{T} \).
- \( B_N \approx 1,854 \times 10^{-7} \, \text{T} \).