a) Chứng minh $∆AEN ~ ∆FED$

Ta có: ∠EAN=∠EBN(hai góc nội tiếp cùng chắn cung NENE)

Vì EE là điểm chính giữa cung BC⇒BE=EC⇒∠EBC=∠BCE⇒BE=EC⇒∠EBC=∠BCE (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

∠CBN=∠NEC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NCNC)

Mà:∠EBN=∠EBC+∠CBN=∠ECB+∠NEC

Lại có: ∠DFE=∠BCE+∠FEC (góc ngoài của ΔFECΔFEC)

⇒∠DFE=∠EBN⇒∠EAN=∠DFE(=∠EBN)

Xét ΔAENΔAEN và  ΔFEDΔFED ta có:

∠Echung

∠EAN=∠DFE(cmt)

⇒ΔAEN∼ΔFED(g−g)

b) Chứng minh MM là trực tâm $∆AEN$

Ta có: EM=EC(gt)⇒ΔEMCEM=EC(gt)⇒ΔEMC là tam giác cân tại E⇒∠EMC=∠ECM(hai góc kề đáy).

Lại có: EB=EC(gt)⇒EB=EM⇒ΔEBMEB=EC(gt)⇒EB=EM⇒ΔEBM cân tại E⇒∠EMB=∠EBM⇒∠EMB=∠EBM (hai góc kề đáy).

Áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác ta có:

∠EMB=∠EBM⇔∠MNE+∠MEN=∠EBC+∠CBN⇔∠MEN=∠NBC(∠CBE=∠MNE)⇒∠NEC=∠MEN(do∠NEC=∠NBC)

Lại có: ∠MNE=∠ENC(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Xét ΔNMEvà ΔNECta có:

∠MEN=∠NEC(cmt)

MNchung

∠MNE=∠ENC(cmt)

⇒ΔNME=ΔNEC(g−c−g).

⇒NM=NC (hai cạnh tương ứng).

⇒ΔMNC⇒ΔMNC cân tại N

Mà NE là tia phân giác của ∠MNC⇒NE∠MNC⇒NE cũng là đường cao của ΔMNC

⇒NE⊥MC hay AM⊥NE

Hay AM là đường cao của ΔANE

Gọi {Y}=AE∩BN

Mặt khác:

∠AEN+∠MNE=∠ACN+∠ENC=900

⇒ΔMYE⇒ΔMYE là tam giác vuông tại Y

⇒MN⊥AE={Y}⇒NM là đường cao của ΔANE.(2)

Từ (1) và (2) suy ra MM là trực tâm ΔENA(đpcm)

c) Gọi I là trung điểm của AN, tia IM cắt đường tròn (O)  tại K. Chứng minh đường thẳng CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK

Gọi giao điểm của AM và EN là X

Kẻ AT⊥AE,T∈(O)⇒∠EAT=900

Mà ∠EAT là góc nội tiếp ⇒ET là đường kính.

⇒E;O;T thẳng hàng.

⇒∠TNE=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có:  ⎧⎪⎨⎪⎩∠EAC+∠AMB=∠AYM=900,

⇒∠AMB=∠TNM⇒AM∥TN

⇒ATMNlà hình bình hành (do AT∥MN)

⇒I là trung điểm củaTMTM

⇒T;M;Kthẳng hàng

⇒∠MKE=900⇒Kthuộc đường tròn đường kính EMEM

⇒5 điểm X;Y;M;K;Ecùng thuộc một đường tròn.

Ta có: ∠KMC=∠KMX=∠XEK=∠NEK=∠NBK(do tứ giác MEKXMEKXnội tiếp)

⇒CM là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ΔBMK