I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,0 điểm)

Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây:

Câu 1. Thay tỉ số 1,25 : 3,45 bằng tỉ số giữa các số nguyên ta được

A. 12,5 : 34,5;                 

B. 29 : 65;             

C. 25 : 69;             

D. 1 : 3.

Câu 2. Biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 2. Khi x = –3 thì giá trị của y bằng bao nhiêu?

A. –6;

B. 0;

C. –9;

D. –1.

Câu 3. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = –12 thì y = 8. Khi x = 3 thì y bằng

A. –32;                  

B. 32;          

C. –2;          

D. 2.

Câu 4. Cho hình vẽ sau:

Số đo x là

A. 18°;

B. 72°;

C. 36°;

D. Không xác định được.

Câu 5. Hai tam giác bằng nhau là

A. Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau;

B. Hai tam giác có ba cặp góc tương ứng bằng nhau;

C. Hai tam giác có ba cặp cạnh, ba cặp góc tương ứng bằng nhau;

D. Hai tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Câu 6. Một tam giác cân có góc ở đáy bằng 40° thì số đo góc ở đỉnh là

A. 50°;

B. 40°;

C. 140°;

D. 100°.

Câu 7. Cho tam giác MNP có: MN < MP, MD ⊥ NP. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. DN = DP;

B. MN = MP;

C. MD > MN;

D. MD < MP.

Câu 8. Điền vào chỗ trống sau: “Điểm … hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó”

A. thuộc;     

B. cách đều;

C. nằm trên;

D. nằm trong.

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm) Tìm số hữu tỉ x trong các tỉ lệ thức sau:

a) $\frac{5}{6}:\mathrm{x}=20:3$;

b) $\frac{9\mathrm{x}-1}{9}=\frac{5}{3}$;

c) $\frac{\mathrm{x}+11}{14-\mathrm{x}}=\frac{2}{3}$.

Bài 2. (1,5 điểm) 

a) Tìm giá trị a, b thỏa mãn 3a = 4b và b – a = 5.

b) Cho $\frac{\mathrm{a}}{2}=\frac{\mathrm{b}}{3};\frac{\mathrm{b}}{5}=\frac{\mathrm{c}}{4}$. Tìm a, b, c biết a + b + c = –74.

Bài 3. (1,5 điểm) Một ô tô đi từ A lúc 8 giờ. Đến 9 giờ một ô tô khác cũng đi xe từ A. Xe thứ nhất đến B lúc 2 giờ chiều. Xe thứ hai đến B sớm hơn xe thứ nhất nửa giờ. Tính vận tốc mỗi xe biết rằng vận tốc xe thứ hai lớn hơn vận tốc xe thứ nhất là 20 km/h.

Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ⊥ AM (E ∈ AM), CF ⊥ AN (F ∈ AN).

a) Chứng minh rằng ∆BME = ∆CNF.

b) EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN

c) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN, chúng cắt nhau ở H. Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng.

Bài 5. (0,5 điểm) Cho tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$. Chứng minh rằng $\frac{\mathrm{a}-2\mathrm{b}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}-2\mathrm{d}}{\mathrm{d}}$.

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 4

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

II. Hướng dẫn giải trắc nghiệm

Câu 1.

Ta có $1,25:3,45=\frac{1,25}{3,45}=\frac{25}{69}$.

Câu 3.

Hệ số tỉ lệ là: a = (–12) . 8 = –96.

Khi x = 3 thì y = –96 : 3 = –32.

Câu 4.

Áp dụng định lý về tổng số đo ba góc của tam giác ta có:

$\widehat{\mathrm{D}}$ + $\widehat{\mathrm{E}}$ + $\widehat{\mathrm{F}}$ = 180°

Suy ra x + x + 36° = 180°

Hay 2x = 144°

Do đó x = 72°.

Câu 6.

Giả sử tam giác ABC cân tại A ta có: $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{C}}$= 40°.

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}$ = 180° (tổng ba góc trong một tam giác).

Do đó $\widehat{\mathrm{A}}$ = 180° − $\widehat{\mathrm{B}}$− $\widehat{\mathrm{C}}$ = 180° − 40° − 40° = 100°.

Vậy số đo góc ở đỉnh là 100°.

II. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

a) $\frac{5}{6}:\mathrm{x}=20:3$

$\frac{\frac{5}{6}}{\mathrm{x}}=\frac{20}{3}$

$\mathrm{x}=\frac{\frac{5}{6}\cdot 3}{20}$

$\mathrm{x}=\frac{\frac{5}{2}}{20}$

$\mathrm{x}=\frac{1}{8}$

Vậy $\mathrm{x}=\frac{1}{8}$.

b) $\frac{9\mathrm{x}-1}{9}=\frac{5}{3}$

$9\mathrm{x}-1=\frac{5.9}{3}$

9x – 1 = 15

9x = 16

$\mathrm{x}=\frac{16}{9}$

Vậy $\mathrm{x}=\frac{16}{9}$.

c) $\frac{\mathrm{x}+11}{14-\mathrm{x}}=\frac{2}{3}$

3(x + 11) = 2(14 – x)

3x + 33 = 28 – 2x

3x + 2x = 28 – 33

5x = –5

x = –1

Vậy x = –1.

Bài 2. (1,5 điểm) 

a) Từ 3a = 4b, ta suy ra $\frac{\mathrm{a}}{4}=\frac{\mathrm{b}}{3}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{\mathrm{a}}{4}=\frac{\mathrm{b}}{3}=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{3-4}=\frac{5}{-1}=-5$.

Suy ra a = (–5) . 4 = –20; b = (–5) . 3 = –15.

Do đó a = –20; b = –15.

b) Ta có:

⦁ $\frac{\mathrm{a}}{2}=\frac{\mathrm{b}}{3}$ suy ra $\frac{\mathrm{a}}{2.5}=\frac{\mathrm{b}}{3.5}$ hay $\frac{\mathrm{a}}{10}=\frac{\mathrm{b}}{15}$  (1)

⦁ $\frac{\mathrm{b}}{5}=\frac{\mathrm{c}}{4}$ suy ra $\frac{\mathrm{b}}{5.3}=\frac{\mathrm{c}}{4.3}$ hay $\frac{\mathrm{b}}{15}=\frac{\mathrm{c}}{12}$   (2)

Từ (1), (2) suy ra $\frac{\mathrm{a}}{10}=\frac{\mathrm{b}}{15}=\frac{\mathrm{c}}{12}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ sổ bằng nhau, ta có:

$\frac{\mathrm{a}}{10}=\frac{\mathrm{b}}{15}=\frac{\mathrm{c}}{12}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{10+15+12}=\frac{-74}{37}=-2$.

Suy ra a = (–2) . 10 = –20; b = (–2) . 15 = –30; c = (–2) . 12 = –24.

Do đó a = –20; b = –30; c = –24.

Bài 2. (1,5 điểm)

Trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau.

Gọi v₁, t₁ lần lượt là vận tốc và thời gian của xe I; v₂, t₂ lần lượt là vận tốc và thời gian của xe II.

Thời gian xe I đi hết đoạn đường AB là:

14 – 8 = 6 (giờ).

Thời gian xe II đi hết đoạn đường AB là:

(14 – 0,5) – 9 = 4,5 (giờ).

Ta có $\frac{{\mathrm{v}}_1}{{\mathrm{v}}_2}\text{=}\frac{{\mathrm{t}}_2}{{\mathrm{t}}_1}=\frac{4,5}{6}=\frac{3}{4}$ hay $\frac{{\mathrm{v}}_1}{3}=\frac{{\mathrm{v}}_2}{4}$.

Vì vận tốc xe thứ hai lớn hơn vận tốc xe thứ nhất là 20 km/h nên v₂ – v₁ = 20.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{\mathrm{v}}_1}{3}=\frac{{\mathrm{v}}_2}{4}=\frac{{\mathrm{v}}_2-{\mathrm{v}}_1}{4-3}=\frac{20}{1}=20$.

Suy ra v₁ = 20 . 3 = 60; v₂ = 20 . 4 = 80.

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 60 km/h, vận tốc của xe thứ hai là 80 km/h.

Bài 4. (3,0 điểm)

a) Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$ suy ra $\widehat{\mathrm{ABM}}=\widehat{\mathrm{ACN}}$.

Xét ∆ABM và ∆CAN có:

AB = AC (vì ∆ABC cân tại A)

$\widehat{\mathrm{ABM}}=\widehat{\mathrm{ACN}}$ (chứng minh trên)

BM = CN (giả thiết)

Do đó ∆ABM = ∆CAN (c.g.c).

Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng); $\widehat{\mathrm{AMB}}=\widehat{\mathrm{ANC}}$ (hai góc tương ứng).

 Xét ∆BME và ∆CNF có:

$\widehat{\mathrm{BEM}}=\widehat{\mathrm{CFN}}=90°$

BM = CN (chứng minh trên)

$\widehat{\mathrm{AMB}}=\widehat{\mathrm{ANC}}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆BME = ∆CNF (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ câu b: ∆BME = ∆CNF suy ra ME = NF.

Mà AM = AN nên AE = AF.

Ta lại có $\widehat{\mathrm{EBM}}=\widehat{\mathrm{FCN}}$ suy ra $\widehat{\mathrm{OBC}}=\widehat{\mathrm{OCB}}$.

Do đó ∆OBC cân tại O từ đó OB = OC suy ra OE = OF.

Xét ∆AEO và ∆AFO có:

AE = AF (chứng minh trên)

$\widehat{\mathrm{AEO}}=\widehat{\mathrm{AFO}}=90°$

OE = OF (chứng minh trên)

Do đó ∆AEO = ∆AFO (c.g.c)

Suy ra $\widehat{\mathrm{OAE}}=\widehat{\mathrm{OAF}}$ (hai góc tương ứng).

Vậy AO là tia phân giác của góc MAN.

c) Xét ∆AMH và ∆ANH có:

$\widehat{\mathrm{AMH}}=\widehat{\mathrm{ANH}}=90°$

Cạnh AH chung

AM = AN (chứng minh trên)

Do đó ∆AMH = ∆ANH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\mathrm{MAH}}=\widehat{\mathrm{NAH}}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra AH là phân giác góc MAN.

Mặt khác AO là phân giác góc MAN nên AH và AO trùng nhau.

Do đó ba điểm A, O, H thẳng hàng.

Bài 5. (0,5 điểm)

Đặt $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\mathrm{k}$ suy ra a = bk, c = dk.

Ta có $\frac{\mathrm{a}-2\mathrm{b}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{bk}-2\mathrm{b}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{b}\left(\mathrm{k}-2\right)}{\mathrm{b}}=\mathrm{k}-2$;

$\frac{\mathrm{c}-2\mathrm{d}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{dk}-2\mathrm{d}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{k}-2\right)}{\mathrm{d}}=\mathrm{k}-2$.

Vậy $\frac{\mathrm{a}-2\mathrm{b}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}-2\mathrm{d}}{\mathrm{d}}$ (đpcm).