So sánh: 78¹² – 78¹¹ và 78¹¹ – 78¹⁰.

Hình chữ nhật (không phải hình vuông) có hai trục đối xứng là các đường nào?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng  $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$.

c) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) Chứng minh SC ⊥ (AMN) và MN ⊥ (SAC).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD.

a) Chứng minh AM ⊥ (SBC) và AN ⊥ (SDC).

Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng nhau và số n = a²b² + b²c² + c²a² là số chính phương.

b, (1 + cotα)sin³α + (1 + tanα)cos³α = sinα + cosα.

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin⁴α – cos⁴α + 1 = 2sin²α.

c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của $\widehat{CHD}$ .

b) Chứng minh MB² = MC.MD.

Cho đường tròn tâm O, từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D; O và B nằm về hai phía so với cát tuyến MCD).

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 671. Chứng minh rằng

$\frac{x}{x^2-yz+2013}+\frac{y}{y^2-zx+2013}+\frac{z}{z^2-xy+2013}\ge \frac{1}{x+y+z}$.

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Chứng minh rằng:

b) S_ABC ≤ R².

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Chứng minh rằng:

b) IK = KC.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. Qua D, A kẻ các đường thẳng vuông góc với BE cắt BC theo thứ tự tự I và K. M là giao điểm của ID và CA. Chứng minh rằng:

a) AM = AC.

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi D là 1 điểm trên cạnh AC sao cho $AD=\frac{1}{3}AC$ , BD cắt AM tại I. Chứng minh AI = IM.

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AC và J là trung điểm của BH. Xác định đường tròn đi qua ba điểm I, D, J.

Cho tam giác ABC (AB = AC), trung tuyến BD. Lấy điểm E sao cho C là trung điểm AE. Chứng minh rằng BE = 2BD.

d) Chứng minh EC = 2DE.

c) Chứng minh E, F đối xứng qua O.

b) Tứ giác AECF là hình gì?

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. Gọi F là giao điểm của CN và AB.

a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm OO’. Qua A, kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và D. Chứng minh rằng tam giác MCD cân.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3}\ge \frac{a+b+c+d}{3}$

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng

.$\frac{1}{a^2.\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2.\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^2.\left(a+b\right)}\ge \frac{3}{2}$

Xe thứ nhất chở được 9 tấn xi-măng, xe thứ hai chở ít hơn xe thứ nhất 700 kg xi-măng. Hỏi cả hai xe chở được bao nhiêu tạ xi-măng?

Một đội công nhân gồm 40 người đã làm xong đoạn đường dài 1600 m hết 10 ngày. Nay công ty cử thêm 60 người nữa xuống làm tiếp đoạn đường dài 3200 m thì hoàn thành công việc trong bao lâu? (Biết năng suất lao động của mỗi người là như nhau).

Chứng tỏ rằng B = 1 + 5 + 5² + ... + 5⁷ + 5⁸ chia hết cho 31.

Liệt kê các phần tử của tập hợp sau:

b) B = {(x; y) | x² + y² ≤ 2 và x, y ∈ ℤ}.

Liệt kê các phần tử của tập hợp sau:

a) A = {(x; x²) | x ∈ {–1; 0; 1}}.

Thực hiện phép tính: 5⁶ : 5⁴ + 2³ . 2² – 1²⁰¹⁷.

Tìm x, biết: 2x(4x² – 25) = 0.

Tìm số nguyên dương n, biết: 121 ≥ 11ⁿ ≥ 1.