Tính giới hạn của các hàm số sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-x+1}-x\right)$

Tính giới hạn của các hàm số sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-\sqrt{3x^2+2}}{5x+\sqrt{x^2+1}}$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}(x+1{)}^2,& x>1\\ x^2+3,& x<1\\ k^2,& x=1\end{array}\right.$. Tìm k để f(x) gián đoạn tại x = 1.

A. $k\ne \pm 2$

B. $k\ne 2$

C. $k\ne -2$

D. $k\ne \pm 1$ 

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) f(x) gián đoạn tại x = 1.

(II) f(x) liên tục tại x = 1.

(III) $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\frac{1}{2}$

A. Chỉ (I). 

B. Chỉ (II). 

C. Chỉ (I) và (III). 

D. Chỉ (II) và (III). 

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x+1}$ và $f\left(2\right)=m^2-2$ với x ≠ 2. Giá trị của m để f(x) liên tục tại x = 2 là:

A. $\sqrt{3}$

B. $-\sqrt{3}$

C. $\pm \sqrt{3}$ 

D. $\pm 3$ 

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}}{x-3}& khi x\ne 3\\ m& khi x=3\end{array}\right.$. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số liên tục tại x = 3.

A. $m\in \varnothing$

B. $m\in R$

C. $m=1$

D. $m=-1$ 

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}3x+2 & khi x<-1\\ x^2-1& khi x\ge -1\end{array}\right.$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. f(x) liên tục trên R. 

B. f(x) liên tục trên (-∞; -1]. 

C. f(x) liên tục trên (-1; +∞).

D. f(x) liên tục tại x = -1.

Hàm số y = f(x) có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giới hạn$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{9x^2+x+1}+3x\right)$ bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. $-\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $-\frac{1}{6}$ 

Giới hạn $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}\left(\frac{1 }{x+1}-1\right)$ bằng

A. 0

B. -1

C. 1

D. $-\infty$

Giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-x}-\sqrt{4x^2+1}}{2x+3}$ bằng

A. $-\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $-\infty$

D. $+\infty$ 

Cho a và b là các số thực khác 0. Khi đó $\underset{x\to 0}{\lim } \frac{ax}{\sin bx}$ bằng

A. a

B. b

C. $\frac{a}{b}$

D. $\frac{b}{a}$

Giả sử $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+ax}-1}{2x}=L$. Hệ số a bằng bao nhiêu để L = 3 ?

A. -6

B. 6 

C. -12

D. 12

Giới hạn của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-(a+2)x+a+1}{x^3-1}$ khi x → 1 bằng:

A. $-\frac{a}{3}$

B. $\frac{a}{3}$

C. $\frac{-a-2}{3}$

D. $\frac{2-a}{3}$ 

Tính$\underset{x\to 2}{\lim } \frac{x^2-4}{x^2-3x+2}$.

A. 1

B. 4

C. -2

D. -4

 Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới đây:

- Quan sát đồ thị và cho biết trong các giới hạn sau, giới hạn nào là +∞ ?

A. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$

B. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

C. $\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$

D. $\underset{x\to {\left(-3\right)}^{-}}{lim}f\left(x\right)$ 

Giới hạn bên phải của hàm số $y = \frac{3x-7}{ x-2}$ khi x → 2 là:

A. $+\infty$

B. $-\infty$

C. 3 

D. $\frac{7}{2}$ 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2017}{3x^3-5x^5}$ bằng

A. $\frac{2017}{3}$

B. $-\infty$

C. $+\infty$

D. 0 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-2x^3+5x\right)$ bằng

A. -2

B. 3

C. $+\infty$

D. $-\infty$ 

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 2,151515... (chu kỳ 15), a được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản, trong đó m, n là các số nguyên dương. Tìm tổng m + n. 

A. 104        

B. 312 

C. 86        

D. 78 

$lim\frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^n+8^n}$ bằng

A. 0

B. $\frac{6}{8}$

C. 36

D. $\frac{4}{5}$

$lim\left(5^n-2^n\right)$ bằng

A. $-\infty$

B. 3 

C. $+\infty$

D. $\frac{5}{2}$ 

$lim\left(n^2-n\sqrt{4n+1}\right)$ bằng

A. -1

B. 3

C. $+\infty$

D. $-\infty$

$lim\frac{\sin (n!)}{n^2+1}$ bằng

A. 0

B. 1

C. $+\infty$

D. 2

Giới hạn của dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{n^3+2n+1}{n^4+3n^3+5n^2+6}$ bằng

A. 1

B. 0

C. $+\infty$

D. $\frac{1}{3}$

Tính lim $u_n$ với $u_n=\frac{5n^2+3n-7}{n^2}$

A. 0

B. 5

C. 3

D. -7

$lim\left(n^3-2n+1\right)$ bằng

A. 0

B. 1

C. $-\infty$

D. $+\infty$ 

Cho phương trình $a{x}^2+bx+c=0 \left(a\ne 0\right)$ thỏa mãn 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh phương trình có nghiệm trong $\left[0;\frac{1}{3}\right]$

Tìm m để các hàm số $f\left(x\right) =\left\{\begin{array}{ll}\frac{ \sqrt[3]{x-2} +2x-1}{x-1}& khi x\ne 1\\ 3m-2& khi x=1\end{array}\right.$liên tục trên R.

Phần II: Tự luận

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-5x+6}{2x^3-16}& khi x<2\\ 2-x& khi x\ge 2\end{array}\right.$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên R. 

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm. 

C. Hàm số không liên tục trên (2:+∞). 

D. Hàm số gián đoạn tại điểm x = 2. 

Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{3x^2-1}$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên R.

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm $x\in \left(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(\frac{1}{\sqrt{3}};+\infty \right)$

C. TXĐ : $D=(-\infty ;\frac{1}{\sqrt{}}]\cup [\frac{1}{\sqrt{2}};+\infty )$

D. Hàm số liên tục tại mọi điểm $x\in \left(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

$\left(I\right) f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}$liên tục với mọi $x\ne 1$

$\left(II\right) f\left(x\right)=\sin x$ liên tục trên R

$\left(III\right) f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}$ liên tục tại x=1

A. Chỉ (I) đúng. 

B. Chỉ (I) và (II). 

C. Chỉ (I) và (III). 

D. Chỉ (II) và (III). 

Tìm a để các hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{4x+1}-1}{a{x}^2+(2a+1)x}& khi x\ne 0\\ 3& khi x=0\end{array}\right.$liên tục tại x = 0.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $-\frac{1}{6}$

D. 1 

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-3x+2}{x-1}+2& khi x>1\\ 3x^2+x-1& khi x\le 1\end{array}\right.$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất:

A. Hàm số liên tục tại x = 1. 

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm. 

C. Hàm số không liên tục tại x = 1. 

D. Tất cả đều sai. 

Tìm giới hạn $A=\underset{x\to 0}{\lim } \frac{1-\cos ax}{x^2}$.

A. $\frac{a^2}{2}$

B. $\frac{a}{2}$

C. 1 

D. a 

Chọn kết quả đúng của $\underset{x\to 0^{-}}{\lim } \left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)$

A. $-\infty$

B. 0

C. $+\infty$

D. Không tồn tại 

Tìm giới hạn $B=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2-3x+4}-2x}{\sqrt{x^2+x+1}-x}$

A. $+\infty$

B. $-\infty$

C. 2 

Tìm giới hạn $B=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x-\sqrt{x^2+x-1}\right)$

A. $+\infty$

B. $-\infty$ 

C. $\frac{4}{3}$

D. 0 

Tìm giới hạn $E=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2-x+1}-x)$

A. $+\infty$

B. $-\infty$

C. $-\frac{1}{2}$

D. 0