Một xí nghiệp chế biến sữa bò muốn sản xuất lon đựng sữa có dạng hình trụ bằng thiếc có thể tích không đổi. Để giảm giá một lon sữa khi bán ra thị trường người ta cần chế tạo lon sữa có kích thước sao cho ít tốn kém vật liệu. Để thỏa mãn yêu cầu đặt ra (diện tích toàn phần bé nhất), người ta phải thiết kế lon sữa thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau:  

A. Chiều cao bằng 3 lần bán kính của đáy     

B. Chiều cao bằng bình phương bán kính của đáy.                            

C. Chiều cao bằng đường kính của đáy.         

Cho hàm số bậc bốn f(x) thỏa mãn $f\left(0\right)=\frac{1}{8}$ và đồ thị y = f'(x) (như hình vẽ bên dưới).

Xét hàm số f(x) thỏa mãn $g"\left(x\right)=2021\left[f"\left(x\right)f\left(x\right)+{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2\right]-f"\left(x\right)$ và $g\text{'}\left(0\right)=\frac{2013}{8}.$ Tìm số nghiệm của phương trình g'(x) = 0.              

Có bao nhiêu giá trị nguyên $m\in \left[-2021;2021\right]$ để phương trình sau: $2^{x-\frac{m}{10}}={\log }_{2}x+\frac{m}{10}$ có nghiệm thực?

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left(1;-2;3\right),B\left(-1;-2;1\right),C\left(1;0;1\right).$ Gọi M là một điểm di động trên mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z+2=0$ sao cho hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh $AC,AB,BC$ lần lượt là H, K, E. Hỏi có bao nhiêu điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho $T=A{K}^2+B{E}^2+C{H}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi A, B, C là 3 điểm có hoành độ thỏa mãn $x_C=x_A+x_B$ và tung độ bằng nhau, lần lượt thuộc đồ thị hàm số $y={\log }_{9}x,y={\log }_{12}x,y={\log }_{15}x.$ Tính độ dài đoạn thẳng AB?      

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là $a,b,0,c\left(a<b<c\right)$ (như hình bên dưới). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $g\left(x\right)=\left|f^2\left(x\right)+m\right|$ trên [a; c] bằng 2021. Tổng tất cả các phần tử của S bằng:

Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $\left|z_1-3-4i\right|=1$ và $\left|z_2-3-4i\right|=\frac{1}{2}.$ Gọi số phức z = a + bi thỏa mãn 3a - 2b = 12. Giá trị nhỏ nhất của $P=\left|z-z_1\right|+\left|z-2z_2\right|+2$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và điểm M là trung điểm của SA. Biết thể tích khối chóp A.SBC bằng $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$ và $AC=a\sqrt{2},$ tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABCD).

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1},d_2:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2\\ z=3\end{array}\right.$ và $d_3:\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2+t\\ z=3\end{array}\right..$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $d_1,$ cắt các đường thẳng $d_2,d_3$ lần lượt tại A và $B\left(A\ne B\right)$ sao cho đường thẳng AB vuông góc với $d_1.$ Phương trình của mặt phẳng (P) là: 

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(-2;0;1\right),B\left(4;2;5\right).$ Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-2z+9=0.$ Phương trình mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: 

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B với $AC=a\sqrt{5},BC=2a,BB\text{'}=a\sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ). Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC)

Cho số phức $z=a+bi\left(a,b\in ℝ\right)$ thỏa mãn $z+1+3i-\left|z\right|i=0.$ Tính S = 2a + 3b

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(-1; 0; 2) và bán kính R = 4 có phương trình là: 

Cho hình nón có đường sinh l =6, bán kính đáy r = 2. Diện tích toàn phần của hình nón bằng: 

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V = 2021. Tính thể tích $V_1$ của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;2;3\right)$ là:

Hàm số $y=x^3-3x+3$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là $6a^2,$ độ dài cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ này bằng:

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y=-2x^3+3x^2+m$ trên đoạn [0; 2] bằng 5, tìm giá trị của tham số m 

Cho số phức z = a + bi thỏa mãn $\frac{z}{2+3i}=3-2i.$ Tính a - b? 

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):3x-2y+z-m=0$ và điểm A(1; 1; 4). Tìm giá trị của tham số m để điểm A thuộc (P)?

Một lớp có 38 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để chọn được một học sinh nữ.

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(5;-2;0\right),B\left(-2;3;0\right)$ và C(0; 2; 3). Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là: 

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(3f\left(x\right)+2x\right)dx=7.$ Tính $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx.$ 

Tổng hai nghiệm của phương trình ${\log }_3^{2}x-6{\log }_{3}x+8=0$ bằng:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 và F(0) = 2. Tìm F(x)?

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?  

Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh trong 8 học sinh:

Cho hai hàm số f(x), g(x) thỏa mãn $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=2,\underset{1}{\overset{0}{\int }}g\left(x\right)dx=5.$ Giá trị $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$ là:

Cho $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(2x\right)dx.$ Khi đặt t = 2x thì ta được:

Cho hai số phức $z_1=2-i,z_2=3+2i.$ Số phức $w=z_1.z_2$ bằng: