Chúng ta sẽ tiến hành rút gọn từng biểu thức:

### a) √a−2√a−2a−2a−2

Biểu thức bên trong căn có dạng √a−2√a−2a−2a−2. Để rút gọn, ta có thể tìm cách viết biểu thức dưới dạng bình phương của một biểu thức khác.

Đặt:
(√a−1)2=a−2√a+1(a−1)2=a−2a+1
Chúng ta thấy rằng biểu thức này chỉ chênh lệch với biểu thức cần rút gọn một số hạng là −2−2. Do đó:

√a−2√a−2=√(√a−1)2−3a−2a−2=(a−1)2−3

Vì không có cách rút gọn thêm, biểu thức này không thể đơn giản hơn nữa.

### b) a−√a√a−1a−aa−1

Biểu thức này không dễ dàng rút gọn hơn do hai căn liên quan với nhau nhưng không đơn giản tạo ra một dạng quen thuộc. Tuy nhiên, ta có thể để nó nguyên dưới dạng:

a−√a√a−1a−aa−1

Không có cách nào rút gọn thêm, trừ khi có một cách tiếp cận khác tùy theo điều kiện cụ thể của a

Để tính tổng AA và BB, ta sẽ phân tích từng tổng.

### Tính tổng AA

Tổng AA được định nghĩa là:

A=1+2+22+23+…+2100A=1+2+22+23+…+2100

Đây là một chuỗi hình học với:
- Số hạng đầu a=1a=1
- Công bội r=2r=2
- Số hạng cuối là 21002100

Số hạng cuối có chỉ số 100, nên tổng có n=101n=101 hạng. Công thức tổng của một chuỗi hình học là:

Sn=a(rn−1)r−1Sn=a(rn−1)r−1

Áp dụng công thức vào tổng AA:

A=1(2101−1)2−1=2101−1A=1(2101−1)2−1=2101−1

### Tính tổng BB

Tổng BB được định nghĩa là:

B=1+3+32+33+…+350B=1+3+32+33+…+350

Đây cũng là một chuỗi hình học với:
- Số hạng đầu a=1a=1
- Công bội r=3r=3
- Số hạng cuối là 350350

Số hạng cuối có chỉ số 50, nên tổng có n=51n=51 hạng. Áp dụng công thức tổng của một chuỗi hình học:

B=1(351−1)3−1=351−12B=1(351−1)3−1=351−12

### Kết quả

Cuối cùng, ta có:

A=2101−1A=2101−1
B=351−12

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng biến số để đại diện cho số quả xoài ban đầu và sau đó tính toán số quả còn lại.

### Bước 1: Đặt biến

Giả sử số quả xoài ban đầu là xx.

### Bước 2: Tính số quả xoài đã bán

- **Lần thứ nhất**: Người bán hoa quả bán được 3535 số quả xoài, nghĩa là:
Sốquảbánlần1=35xSốquảbánlần1=35x

- **Số quả còn lại sau lần thứ nhất**:
Sốquảcònlại=x−35x=25xSốquảcònlại=x−35x=25x

- **Lần thứ hai**: Người bán hoa quả bán được 3535 số quả đã còn lại:
Sốquảbánlần2=35(25x)=625xSốquảbánlần2=35(25x)=625x

### Bước 3: Tính số quả xoài còn lại sau lần thứ hai

- Số quả còn lại sau cả hai lần bán là:
Sốquảcònlạisaulần2=25x−625xSốquảcònlạisaulần2=25x−625x

### Bước 4: Thực hiện phép trừ