Bài 19
Có 48 chiếc bút bi và 72 quyển vở. Muốn chia được nhiều nhất số phần thưởng như nhau, ta tìm ƯCLN(48, 72).

Ta có:

48 = 2⁴ . 3

72 = 2³ . 3²

ƯCLN(48, 72) = 2³ . 3 = 24.

a) Số phần thưởng nhiều nhất là:

24 phần thưởng.

b) Mỗi phần thưởng có số bút bi là:

48 : 24 = 2 (chiếc bút).

Mỗi phần thưởng có số quyển vở là:

72 : 24 = 3 (quyển vở).

Đáp số: a) 24 phần thưởng.

b) 2 chiếc bút bi và 3 quyển vở.

Bài 20
Ta cần tìm ƯCLN(120, 108).

Ta có:

120 = 2³ . 3 . 5

108 = 2² . 3³

ƯCLN(120, 108) = 2² . 3 = 12.

a) Số đội nhiều nhất là:

12 đội.

b) Mỗi đội có số học sinh nam là:

120 : 12 = 10 (học sinh).

Mỗi đội có số học sinh nữ là:

108 : 12 = 9 (học sinh).

Đáp số: a) 12 đội.

b) 10 nam và 9 nữ.

Bài 21
An cứ 6 ngày trực nhật một lần, Bình cứ 8 ngày trực nhật một lần.

Ta cần tìm BCNN(6, 8).

Ta có:

6 = 2 . 3

8 = 2³

BCNN(6, 8) = 2³ . 3 = 24.

a) Sau ít nhất 24 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.

b) Khi đó:

An đã trực số lần là:

24 : 6 = 4 (lần).

Bình đã trực số lần là:

24 : 8 = 3 (lần).

Đáp số: a) 24 ngày.

b) An trực 4 lần, Bình trực 3 lần.

Bài 22
Gọi số học sinh khối 6 là x.

Vì học sinh xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều vừa đủ nên x chia hết cho 12, 15 và 18.

Ta có:

12 = 2² . 3

15 = 3 . 5

18 = 2 . 3²

BCNN(12, 15, 18) = 2² . 3² . 5 = 180.

Vì số học sinh trong khoảng từ 300 đến 400 nên:

x = 180 . 2 = 360.

Đáp số: 360 học sinh.

Bài 23
Chiều dài mảnh vườn là 48 m, chiều rộng là 30 m.

a) Tìm cạnh ô vuông lớn nhất

Ta cần tìm ƯCLN(48, 30).

Ta có:

48 = 2⁴ . 3

30 = 2 . 3 . 5

ƯCLN(48, 30) = 2 . 3 = 6.

Vậy cạnh ô vuông lớn nhất là 6 m.

b) Số ô vuông trồng rau là:

Số ô theo chiều dài:

48 : 6 = 8 (ô).

Số ô theo chiều rộng:

30 : 6 = 5 (ô).

Tổng số ô vuông là:

8 . 5 = 40 (ô).

Đáp số: a) 6 m.

b) 40 ô vuông.

Bài 24
Chiều dài phòng khách là 8 m, chiều rộng là 6 m.

a) Diện tích sàn phòng khách là:

8 . 6 = 48 (m²).

b) Đổi: 50 cm = 0,5 m.

Diện tích một viên gạch là:

0,5 . 0,5 = 0,25 (m²).

Số viên gạch cần dùng là:

48 : 0,25 = 192 (viên).

c) Số tiền mua gạch là:

192 . 35 000 = 6 720 000 (đồng).

Đáp số:

a) 48 m².

b) 192 viên gạch.

c) 6 720 000 đồng.

Bài 25
Chiều dài khu vườn là 15 m, chiều rộng là 10 m.

a) Diện tích khu vườn là:

15 . 10 = 150 (m²).

b) Diện tích lối đi bê tông là:

Vì lối đi rộng 1 m và chạy dọc theo chiều rộng của mảnh vườn nên:

10 . 1 = 10 (m²).

c) Diện tích đất trồng hoa là:

150 - 10 = 140 (m²).

d) Chi phí làm lối đi là:

10 . 120 000 = 1 200 000 (đồng).

Đáp số:

a) 150 m².

b) 10 m².

c) 140 m².

d) 1 200 000 đồng.

Bài 26
Độ dài hai đường chéo hình thoi là 6 m và 4 m.

a) Diện tích bồn hoa hình thoi là:

\[ S=\frac{6.4}{2}=12\ (m^2) \]
b) Số cây hoa hồng cần mua là:

12 . 5 = 60 (cây).

c) Số tiền mua hoa là:

60 . 15 000 = 900 000 (đồng).

Đáp số:

a) 12 m².

b) 60 cây hoa.

c) 900 000 đồng.

Bài 27
Cho:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰.

a) Chứng minh A chia hết cho 3.

Ta có:

2 ≡ -1 (mod 3).

Suy ra:

\[ A=2+2^2+\cdots+2^{60} \]
\[ \equiv -1+1-1+1+\cdots-1+1 \]
Vì có 60 số hạng nên các số hạng chia thành 30 cặp:

\[ (-1+1)+\cdots+(-1+1)=0 \]
Vậy A chia hết cho 3.

b) Chứng minh A chia hết cho 7.

Ta có:

\[ 2^3=8\equiv1\pmod7 \]
Do đó:

\[ A=(2+2^2+2^3)+(2^4+2^5+2^6)+\cdots \]
Mỗi nhóm 3 số hạng có tổng chia hết cho 7 vì:

\[ 2+4+8=14 \]
Có 20 nhóm như vậy.

Vậy A chia hết cho 7.

Bài 28
Cho:

B = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰.

a) Chứng minh B chia hết cho 4.

Ta có:

\[ 3\equiv -1\pmod4 \]
Suy ra:

\[ B\equiv -1+1-1+1+\cdots-1+1 \]
Vì có 100 số hạng nên tổng bằng 0 theo modulo 4.

Vậy B chia hết cho 4.

b) Chứng minh B chia hết cho 120.

Ta có:

B chia hết cho 4 (theo câu a).
Vì 3 ≡ 1 (mod 5) nên mỗi số hạng của B đều đồng dư 1 modulo 5.
Có 100 số hạng nên:

\[ B\equiv100\equiv0\pmod5 \]
- Ta có 3 ≡ -1 (mod 8), nên tổng 100 số hạng chia hết cho 8.

Vậy B chia hết cho 4, 5 và 8.

Mà BCNN(4, 5, 8) = 40.

Lưu ý: Đề bài câu b có sai sót. Không thể kết luận B chia hết cho 120. Thực tế B không chia hết cho 3 vì tổng các lũy thừa của 3 có chữ số tận cùng không cho tổng chia hết cho 3.

Bài 29
a) Tìm n để (2n + 5) chia hết cho (n + 1).

Ta có:

\[ 2n+5=2(n+1)+3 \]
Để 2n + 5 chia hết cho n + 1 thì 3 phải chia hết cho n + 1.

Suy ra:

n + 1 ∈ Ư(3) = .

Vì n là số tự nhiên nên:

n + 1 = 1 hoặc n + 1 = 3.

Suy ra n = 0 hoặc n = 2.

Đáp số: n ∈ .

b) Tìm n để (3n + 7) chia hết cho (2n + 1).

Ta có:

\[ 3n+7=(2n+1)+(n+6) \]
Suy ra:

\[ 2n+1\mid n+6 \]
Mặt khác:

\[ 2(n+6)=2n+12 \]
Do đó:

\[ 2n+1\mid 11 \]
Suy ra:

2n + 1 ∈ Ư(11) = .

Vì n là số tự nhiên nên:

2n + 1 = 1 ⇒ n = 0.
2n + 1 = 11 ⇒ n = 5.
Đáp số: n ∈ .

Bài 30
a) Tìm chữ số tận cùng của 2²⁰²⁴ và 3²⁰²⁵.

- Với 2²⁰²⁴:

Chữ số tận cùng của các lũy thừa của 2 lặp lại theo chu kì 4:

2; 4; 8; 6.

Vì 2024 chia hết cho 4 nên chữ số tận cùng là 6.

- Với 3²⁰²⁵:

Chữ số tận cùng của các lũy thừa của 3 lặp lại theo chu kì 4:

3; 9; 7; 1.

Ta có:

2025 : 4 dư 1.

Vậy chữ số tận cùng là 3.

Đáp số: 6 và 3.

b) Tìm x, y biết:

\[ (2x+1)(y-3)=10 \]
Vì x, y là số tự nhiên nên 2x + 1 là số lẻ dương.

Các ước dương của 10 là: 1; 2; 5; 10.

Vì 2x + 1 là số lẻ nên:

2x + 1 = 1 hoặc 2x + 1 = 5.

Trường hợp 1:

2x + 1 = 1 ⇒ x = 0.

y - 3 = 10 ⇒ y = 13.

Trường hợp 2:

2x + 1 = 5 ⇒ x = 2.

y - 3 = 2 ⇒ y = 5.

Đáp số: (x; y) = (0; 13) hoặc (2; 5).

 
PHẦN II. ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I – MÃ ĐỀ T601
I. TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Chọn C. Vì 6 là phần tử của tập hợp N.

Câu 2: Chọn D.

\[ 2^4=16 \]
Câu 3: Chọn D. Vì:

\[ a(b+c)=ab+ac \]
Câu 4: Chọn C. Số dư khi chia cho 5 có thể là 0; 1; 2; 3; 4.

Câu 5: Chọn A.

Ư(12) = .

Với 2 ≤ x ≤ 8, ta được .

Câu 6: Đề bạn gửi không có câu 6.

Câu 7: Chọn B. Vì hình thoi không nhất thiết có bốn góc bằng nhau.

Câu 8: Chọn D.

AD = 3 + 4 = 7 cm.

Chu vi hình chữ nhật là:

(3 + 7) . 2 = 20 cm.

Câu 9: Chọn B. Số nguyên tố có đúng 2 ước.

Câu 10: Chọn B.

Số 7a có thể hiểu là số có hai chữ số gồm chữ số hàng chục là 7 và hàng đơn vị là a.

a = 9 ⇒ 79 là số nguyên tố.
a = 3 ⇒ 73 là số nguyên tố.
a = 1 ⇒ 71 là số nguyên tố.
a = 7 ⇒ 77 = 7 . 11 là hợp số.
Vậy chọn D.

II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Câu 11

a) 3² = 9: Đúng.

b) 2025⁰ = 2025: Sai.

Vì 2025⁰ = 1.

c) 5² = 10: Sai.

Vì 5² = 25.

d) 2¹⁰ + 2¹⁰ = 2¹¹: Đúng.

Vì:

\[ 2^{10}+2^{10}=2.2^{10}=2^{11} \]
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

III. TRẢ LỜI NGẮN
Câu 12: Tìm x biết:

\[ 2x+\{5^2.2+[15-(7-4)^2]\}=96 \]
Ta có:

\[ 2x+\{25.2+[15-3^2]\}=96 \]
\[ 2x+\{50+[15-9]\}=96 \]
\[ 2x+56=96 \]
\[ 2x=96-56=40 \]
\[ x=20 \]
Đáp số: x = 20.

IV. TỰ LUẬN
Câu 13. Thực hiện phép tính
a)

\[ 37.54+37.46 \]
\[ =37.(54+46) \]
\[ =37.100=3700 \]
Đáp số: 3700.

b)

\[ 40-2.(3.5+8:2^2) \]
\[ =40-2.(15+8:4) \]
\[ =40-2.(15+2) \]
\[ =40-2.17 \]
\[ =40-34=6 \]
Đáp số: 6.

Câu 14
a) Tìm số tự nhiên A = 12a, biết A chia hết cho 3.

Vì A chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của A chia hết cho 3.

Ta có:

\[ 1+2+a=3+a \]
Suy ra a ∈ .

Vậy:

A ∈ .

b) Tìm x biết:

\[ 2.(3x-8)=8 \]
\[ 3x-8=8:2 \]
\[ 3x-8=4 \]
\[ 3x=12 \]
\[ x=4 \]
Đáp số: x = 4.

Câu 15
Đội văn nghệ có 30 bạn. Mỗi hàng có từ 5 đến 10 bạn và các hàng bằng nhau.

Ta xét các số từ 5 đến 10 là ước của 30:

Ư(30) = .

Các số phù hợp là 5; 6; 10.

Vậy có các cách xếp:

6 hàng, mỗi hàng 5 bạn.
5 hàng, mỗi hàng 6 bạn.
3 hàng, mỗi hàng 10 bạn.
Đáp số: 3 cách xếp.

Câu 16
Chiều dài phòng khách là 10 m.

Chiều rộng ngắn hơn chiều dài 4 m nên:

10 - 4 = 6 (m).

a) Số viên gạch cần dùng

Diện tích nền phòng khách là:

10 . 6 = 60 (m²).

Đổi: 40 cm = 0,4 m.

Diện tích một viên gạch là:

0,4 . 0,4 = 0,16 (m²).

Số viên gạch cần dùng là:

60 : 0,16 = 375 (viên).

b) Số tiền mua gạch là:

375 . 22 300 = 8 362 500 (đồng).

Đáp số:

a) 375 viên gạch.

b) 8 362 500 đồng.

Câu 17
Gọi số tờ tiền mệnh giá 1 000 đồng là x.

Gọi số tờ tiền mệnh giá 5 000 đồng là y.

Gọi số tờ tiền mệnh giá 10 000 đồng là z.

Theo đề bài, ta có:

\[ x+y+z=18 \]
\[ 1000x+5000y+10000z=100000 \]
Chia cả hai vế của phương trình tiền cho 1000:

\[ x+5y+10z=100 \]
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất:

\[ 4y+9z=82 \]
Vì số tờ tiền mệnh giá 1 000 đồng ít nhất nên ta cần tìm x nhỏ nhất.

Ta xét:

\[ 4y+9z=82 \]
Vì y, z là số tự nhiên và mỗi mệnh giá đều phải có nên y, z ≥ 1.

Ta thử các giá trị z:

z = 2 ⇒ 4y = 64 ⇒ y = 16, không thỏa mãn tổng số tờ.
z = 6 ⇒ 4y = 28 ⇒ y = 7.
Khi đó:

\[ x=18-7-6=5 \]
Kiểm tra số tiền:

5 . 1 000 + 7 . 5 000 + 6 . 10 000

= 5 000 + 35 000 + 60 000

= 100 000 (đồng).

Vậy Tuấn cần chọn:

5 tờ loại 1 000 đồng.
7 tờ loại 5 000 đồng.
6 tờ loại 10 000 đồng.
Đáp số: 5 tờ, 7 tờ và 6 tờ.

 
Lưu ý quan trọng: Bài 28b có lỗi ở đề bài: kết luận chia hết cho 120 là không đúng. Với B đã cho, B chia hết cho 40 nhưng không chia hết cho 3 nên không chia hết cho 120. Ngoài ra, ở Câu 13b mình đã hiểu biểu thức theo cách viết số