a) Tìm giao điểm \(I\) của đường thẳng \(BN\) với mặt phẳng \((SAC)\)
Để tìm giao điểm của \(BN\) và \((SAC)\), ta chọn mặt phẳng phụ \((SBD)\) chứa \(BN\).
Bước 1: Tìm giao tuyến của \((SBD)\) và \((SAC)\)Ta có \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
Trong mặt phẳng đáy \((ABCD)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) (\(O = AC \cap BD\)).
Vì \(O \in AC \subset (SAC)\) và \(O \in BD \subset (SBD)\) nên \(O\) là điểm chung thứ hai.
Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(SO\) (\((SBD) \cap (SAC) = SO\)).

Bước 2: Tìm giao điểm \(I\)Trong mặt phẳng phụ \((SBD)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(BN\) và \(SO\) (\(I = BN \cap SO\)).
Do \(I \in SO\) mà \(SO \subset (SAC) \Rightarrow I \in (SAC)\).
Kết luận: \(I\) chính là giao điểm cần tìm: \(I = BN \cap (SAC)\).

b) Tìm giao điểm \(J\) của đường thẳng \(MN\) với mặt phẳng \((SAC)\)
Để tìm giao điểm của \(MN\) và \((SAC)\), ta chọn mặt phẳng phụ \((SMD)\) chứa \(MN\).
Bước 1: Tìm giao tuyến của \((SMD)\) và \((SAC)\)Ta có \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
Trong mặt phẳng đáy \((ABCD)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(DM\) (\(E = AC \cap DM\)).
Vì \(E \in AC \subset (SAC)\) và \(E \in DM \subset (SMD)\) nên \(E\) là điểm chung thứ hai.
Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(SE\) (\((SMD) \cap (SAC) = SE\)).

Bước 2: Tìm giao điểm \(J\)Trong mặt phẳng phụ \((SMD)\), đường thẳng \(MN\) và giao tuyến \(SE\) cùng nằm trong mặt phẳng này nên chúng cắt nhau. Gọi \(J = MN \cap SE\).
Do \(J \in SE\) mà \(SE \subset (SAC) \Rightarrow J \in (SAC)\).
Kết luận: \(J\) chính là giao điểm cần tìm: \(J = MN \cap (SAC)\).

Để tìm giao điểm của một đường thẳng với một mặt phẳng, ta dùng phương pháp tìm một đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng sao cho $d$ cắt đường thẳng đã cho.

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng BN với mặt phẳng (SAC)

Bước 1: Xét mặt phẳng $(SBD)$ chứa đường thẳng $BN$.
Bước 2: Tìm giao tuyến của $(SBD)$ và $(SAC)$.

Cả hai mặt phẳng đều có chung đỉnh $S$.
Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, gọi $O = AC \cap BD$.
Do đó, giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ chính là đường thẳng $SO$.
Bước 3: Trong mặt phẳng $(SBD)$, đường thẳng $BN$ cắt đường thẳng $SO$ tại điểm $I$.
Kết luận: Vì $I \in SO$ mà $SO \subset (SAC)$, nên $I$ chính là giao điểm của $BN$ và mặt phẳng $(SAC)$.
b) Tìm giao điểm J của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC)

Bước 1: Xét mặt phẳng $(SMD)$ chứa đường thẳng $MN$.
Bước 2: Tìm giao tuyến của $(SMD)$ và $(SAC)$.

Cả hai mặt phẳng đều có chung đỉnh $S$.
Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, gọi $K = AC \cap DM$.
Do đó, giao tuyến của $(SAC)$ và $(SMD)$ chính là đường thẳng $SK$.
Bước 3: Trong mặt phẳng $(SMD)$, đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $SK$ tại điểm $J$.
Kết luận: Vì $J \in SK$ mà $SK \subset (SAC)$, nên $J$ chính là giao điểm của $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$.

$\color{red}{\mathcal{CristianoRonaldo}}$

a) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $BN$ với mặt phẳng $(SAC)$
Chọn mặt phẳng phụ chứa $BN$: Chọn mặt phẳng $(SBD)$ (vì $N \in SD$ nên $N$ thuộc mặt phẳng này, và $B$ cũng thuộc mặt phẳng này).

Tìm giao tuyến của $(SBD)$ và $(SAC)$:

Hai mặt phẳng này có điểm chung thứ nhất là đỉnh $S$.

Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Khi đó $O \in AC \subset (SAC)$ và $O \in BD \subset (SBD)$, nên $O$ là điểm chung thứ hai.

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SO$.

Xác định giao điểm $I$:

Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $BN$ và đường thẳng $SO$.

Vì $I \in SO$ mà $SO \subset (SAC)$ nên $I \in (SAC)$.

Mặt khác, $I \in BN$.

$\Rightarrow$ $I$ chính là giao điểm của $BN$ và $(SAC)$.

b) Tìm giao điểm $J$ của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(SAC)$
Chọn mặt phẳng phụ chứa $MN$: Chọn mặt phẳng $(SMC)$ chứa đường thẳng $MN$ (vì $M \in BC \subset (ABCD)$ nên điểm $M$ kết hợp với đỉnh $S$ tạo thành mặt phẳng $(SMC)$, và $N \in SD \subset (SBD)$).

Tìm giao tuyến của $(SMC)$ và $(SAC)$:

Hai mặt phẳng này chứa chung đỉnh $S$.

Cả hai đều chứa điểm $C$.

$\Rightarrow$ Giao tuyến của $(SMC)$ và $(SAC)$ chính là đường thẳng $SC$.

Xác định giao điểm $J$:

Trong mặt phẳng $(SMC)$, gọi $J$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ và đường thẳng $SC$.

Vì $J \in SC$ mà $SC \subset (SAC)$ nên $J \in (SAC)$.

Mặt khác, $J \in MN$.

$\Rightarrow$ $J$ chính là giao điểm của $MN$ và $(SAC)$.