$A$ chia $39$ dư $5$ $\Rightarrow A = 39k + 5$ (với $k \in \mathbb{N}$)

$A$ chia $41$ dư $28$ $\Rightarrow A = 41m + 28$ (với $m \in \mathbb{N}$)

Do đó:
$39k + 5 = 41m + 28$

$39k = 41m + 23$

$39k = 39m + 2m + 23$

Rút gọn hai bên cho $39$, ta được:

$2m + 23 \text{ phải chia hết cho } 39$

Để tìm $A$ nhỏ nhất, ta cần tìm số tự nhiên $m$ nhỏ nhất sao cho $(2m + 23)$ chia hết cho $39$.

Thử trường hợp nhỏ nhất: $2m + 23 = 39$

$2m = 39 - 23$

$2m = 16$

$m = 8$ (thỏa mãn là số tự nhiên)

Thay $m = 8$ vào công thức tính $A$:

$A = 41 \times 8 + 28 = 328 + 28 = 356$

(Thử lại: $356 : 39 = 9$ dư $5$; $356 : 41 = 8$ dư $28$ - Đúng)

Vậy số tự nhiên $A$ nhỏ nhất cần tìm là 356.

A chia 39 dư 5 ⇒A=39k+5 (với k∈N)

A chia 41 dư 28 ⇒A=41m+28 (với m∈N)

Do đó:
39k+5=41m+28

39k=41m+23

39k=39m+2m+23

Rút gọn hai bên cho 39, ta được:

2m+23 phải chia hết cho 39

Để tìm A nhỏ nhất, ta cần tìm số tự nhiên m nhỏ nhất sao cho (2m+23) chia hết cho 39.

Thử trường hợp nhỏ nhất: 2m+23=39

2m=39−23

2m=16

m=8 (thỏa mãn là số tự nhiên)

Thay m=8 vào công thức tính A:

A=41×8+28=328+28=356

(Thử lại: 356:39=9 dư 5; 356:41=8 dư 28 - Đúng)

Vậy số tự nhiên A nhỏ nhất cần tìm là 356.
 

Chia cho 29 dư 5 nghĩa là: A = 29p + 5 ( p ∈ N )

Tương tự:  A = 31q + 28 ( q ∈ N )

Nên: 29p + 5 = 31q + 28=> 29(p - q) = 2q + 23

Ta thấy: 2q + 23 là số lẻ => 29(p – q) cũng là số lẻ ==>p – q >=1

Theo giả thiết A nhỏ nhất => q nhỏ nhất (A = 31q + 28)

                                    =>2q = 29(p – q) – 23 nhỏ nhất

                                    => p – q nhỏ nhất

Do đó p – q = 1 => 2q = 29 – 23 = 6

                        => q = 3

Vậy số cần tìm là: A = 31q + 28 = 31. 3 + 28 = 121