Đề bài:
Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AB\) và \(AC\), gọi \(P\) là điểm thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(AP = 2 \times DP\). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(MNP\) và \(BCD\).

---

**Bước giải:**

- **Bước 1: Xác định các điểm đã cho**

- \(M\) là trung điểm của \(AB\) \(\Rightarrow M\) chia đoạn \(AB\) thành hai phần bằng nhau.
- \(N\) là trung điểm của \(AC\) \(\Rightarrow N\) chia đoạn \(AC\) thành hai phần bằng nhau.
- \(P\) thuộc \(AD\) sao cho \(AP = 2 \times DP\).
Gọi \(D\) là điểm cuối của đoạn \(AD\), ta có:
\[
AP = 2 \times DP \implies AP:DP = 2:1
\]
Vậy \(P\) chia đoạn \(AD\) theo tỉ lệ \(2:1\) từ \(A\) đến \(D\).

- **Bước 2: Xác định phương trình tham số của các đoạn**

Giả sử tọa độ các điểm:
\[
A = \vec{A}, \quad B = \vec{B}, \quad C = \vec{C}, \quad D = \vec{D}
\]

- \(M\) là trung điểm \(AB\):
\[
\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}
\]

- \(N\) là trung điểm \(AC\):
\[
\vec{N} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}
\]

- \(P\) chia đoạn \(AD\) theo tỉ lệ \(2:1\) từ \(A\) đến \(D\):
\[
\vec{P} = \vec{A} + \frac{2}{3}(\vec{D} - \vec{A}) = \frac{1}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{D}
\]

- **Bước 3: Xác định mặt phẳng \(MNP\)**

Mặt phẳng \(MNP\) đi qua ba điểm \(M, N, P\). Vector pháp tuyến của mặt phẳng này là:
\[
\vec{n}_1 = (\vec{N} - \vec{M}) \times (\vec{P} - \vec{M})
\]

- **Bước 4: Xác định mặt phẳng \(BCD\)**

Mặt phẳng \(BCD\) đi qua ba điểm \(B, C, D\). Vector pháp tuyến của mặt phẳng này là:
\[
\vec{n}_2 = (\vec{C} - \vec{B}) \times (\vec{D} - \vec{B})
\]

- **Bước 5: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng**

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng có phương vector là tích có hướng của hai vector pháp tuyến:
\[
\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2
\]

- **Bước 6: Tìm một điểm chung trên giao tuyến**

Giao tuyến nằm trên cả hai mặt phẳng, nên ta có thể tìm điểm chung bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng hoặc tìm giao điểm của một đường thẳng trên mặt phẳng này với mặt phẳng kia.

Một cách đơn giản là xét giao điểm của đường thẳng \(MN\) (thuộc mặt phẳng \(MNP\)) với mặt phẳng \(BCD\), hoặc đường thẳng \(NP\) với mặt phẳng \(BCD\), hoặc đường thẳng \(MP\) với mặt phẳng \(BCD\).

- **Bước 7: Kết luận**

Giao tuyến của hai mặt phẳng \(MNP\) và \(BCD\) là đường thẳng có phương vector \(\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2\) và đi qua điểm chung tìm được ở bước 6.

---

**Tóm tắt:**

- Tọa độ các điểm:
\[
M = \frac{A + B}{2}, \quad N = \frac{A + C}{2}, \quad P = \frac{1}{3}A + \frac{2}{3}D
\]
- Vector pháp tuyến mặt phẳng \(MNP\):
\[
\vec{n}_1 = (N - M) \times (P - M)
\]
- Vector pháp tuyến mặt phẳng \(BCD\):
\[
\vec{n}_2 = (C - B) \times (D - B)
\]
- Phương vector giao tuyến:
\[
\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2
\]
- Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung (tìm được bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng hoặc tìm giao điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng \(MNP\) với mặt phẳng \(BCD\)) và có phương vector \(\vec{v}\).

---

**Trả lời cuối cùng:**

Giao tuyến của hai mặt phẳng \(MNP\) và \(BCD\) là đường thẳng có phương vector \(\vec{v} = ((N - M) \times (P - M)) \times ((C - B) \times (D - B))\) và đi qua điểm chung của hai mặt phẳng, có thể tìm bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng hoặc tìm giao điểm của một đường thẳng thuộc mặt phẳng \(MNP\) với mặt phẳng \(BCD\).