Bài này “một lò xo nhưng hai bậc tự do” nên nếu nghĩ nó dao động điều hòa đơn thì sẽ vướng ngay. Làm từng ý:

Kí hiệu chung
(x_1, x_2): tọa độ hai vật trong hệ quán tính (sau (t=0))
(r = x_2 - x_1 - l_0): độ biến dạng lò xo
(M = m_1 + m_2)
Khối tâm: (X = \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M})
Trước (t=0): trong hệ phi quán tính có lực quán tính (m a) ⇒ hệ cân bằng:
[
k r_0 = \frac{m_1 m_2}{M} a
\Rightarrow r_0 = \frac{m_1 m_2}{kM}a
]

1. Không phải dao động điều hòa đơn
Sau (t=0): bỏ gia tốc ngoài ⇒ hệ chỉ còn lực nội.

Phương trình:
[
m_1 \ddot x_1 = k r,\quad m_2 \ddot x_2 = -k r
]

Suy ra:

Khối tâm:
[
\ddot X = 0
]
Chuyển động tương đối:
[
\ddot r + \omega^2 r = 0,\quad \omega^2 = k\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)
]
👉 Hệ gồm:

Chuyển động thẳng đều của khối tâm
Dao động điều hòa của chuyển động tương đối
⇒ Không thể là dao động điều hòa đơn thuần (vì có thêm chuyển động tịnh tiến).

2. Động năng toàn phần
[
T = \frac12 m_1 \dot x_1^2 + \frac12 m_2 \dot x_2^2
]

Tách ra:
[
T = \frac12 M \dot X^2 + \frac12 \mu \dot r^2
]
với (\mu = \dfrac{m_1 m_2}{M})

👉 Ý nghĩa:

(\frac12 M \dot X^2): động năng khối tâm
(\frac12 \mu \dot r^2): động năng tương đối

3. Có lúc (v=0) nhưng (a) cực đại
Dao động tương đối:
[
r = r_0 \cos(\omega t)
]

Gia tốc:
[
\ddot r = -\omega^2 r
]

Tại biên:

(r = \pm r_0)
(\dot r = 0)
(|\ddot r|) cực đại
👉 Với từng vật:

có thời điểm vận tốc bằng 0
nhưng lực lò xo lớn nhất ⇒ gia tốc cực đại
Ý nghĩa vật lí:
Đó là vị trí biên – vật “dừng lại để đổi chiều” nhưng lực kéo về là mạnh nhất.

4. Khi nào động năng khối tâm bằng 0?
Vận tốc khối tâm:
[
\dot X(0) = v_0 \neq 0
]
(do trước đó có lực quán tính)

Vì:
[
\ddot X = 0 \Rightarrow \dot X = \text{hằng số}
]

👉 Muốn (\dot X = 0) tại thời điểm nào đó
⇒ phải có:
[
\dot X(0) = 0
]

Nhưng:
[
\dot X(0) = \frac{m_1 + m_2}{M} a t \neq 0
]

👉 Không thể xảy ra (trừ khi (a=0))

Kết luận:
Không tồn tại thời điểm hữu hạn để toàn bộ năng lượng chỉ nằm ở dao động tương đối.

5. Khi lò xo đứt
Ngay trước khi đứt:
[
v_1 = \dot X - \frac{m_2}{M}\dot r,\quad
v_2 = \dot X + \frac{m_1}{M}\dot r
]

Muốn một vật đứng yên (ví dụ vật 1):
[
v_1 = 0
\Rightarrow \dot X = \frac{m_2}{M}\dot r
]

Do (\dot r) biến thiên tuần hoàn ⇒ tồn tại thời điểm thỏa mãn nếu tỉ số phù hợp.

Điều kiện tồn tại nghiệm:
[
\left|\frac{m_2}{M}\right| \le 1
\Rightarrow \frac{m_1}{m_2} = 1
]

👉 Kết quả đặc biệt:
[
\boxed{\frac{m_1}{m_2} = 1}
]

⇒ hai vật bằng khối lượng → có thời điểm một vật đứng yên ngay khi lò xo đứt.

🔥 Tóm nhanh:
Hệ = tịnh tiến + dao động ⇒ không phải SHM đơn
(T = T_{khối\ tâm} + T_{tương\ đối})
Biên: (v=0), (a) max
Khối tâm không thể dừng nếu ban đầu có vận tốc
(m_1 = m_2) ⇒ có thể “đóng băng” một vật khi lò xo đứt

Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ đồ thị chuyển động hoặc giải lại theo phong cách thi IPhO chuẩn chỉnh hơn (dùng biến đổi tọa độ Lagrange) 👍