a) Chứng minh $\Delta AED = \Delta AFD$ và $AD$ là đường trung trực của $EF$
Chứng minh $\Delta AED = \Delta AFD$:

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:

$AB = AC$ (giả thiết)
$AD$ là cạnh chung
$DB = DC$ ($D$ là trung điểm $BC$)
$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD$ (c.c.c).
$\Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{CAD}$ (hai góc tương ứng).
Xét hai tam giác vuông $\Delta AED$ và $\Delta AFD$ ($\widehat{E} = \widehat{F} = 90^\circ$):

$AD$ là cạnh huyền chung
$\widehat{EAD} = \widehat{FAD}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \Delta AED = \Delta AFD$ (cạnh huyền - góc nhọn).
Chứng minh $AD$ là trung trực của $EF$:

Từ $\Delta AED = \Delta AFD \Rightarrow AE = AF$ và $DE = DF$.
Vì $AE = AF$ nên $A$ thuộc đường trung trực của $EF$.
Vì $DE = DF$ nên $D$ thuộc đường trung trực của $EF$.
Vậy $AD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $EF$.

b) Chứng minh $\Delta EKC$ vuông
Xét $\Delta BDE$ và $\Delta CDK$ có:

$DE = DK$ (giả thiết)
$\widehat{BDE} = \widehat{CDK}$ (đối đỉnh)
$DB = DC$ (giả thiết)
$\Rightarrow \Delta BDE = \Delta CDK$ (c.g.c).
$\Rightarrow \widehat{BED} = \widehat{CKD} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng).
Vì $\widehat{CKD} = 90^\circ$ nên $\widehat{EKC} = 90^\circ$.
Vậy $\Delta EKC$ vuông tại $K$.

c) So sánh $BF$ và $EK$
Từ $\Delta BDE = \Delta CDK$ (chứng minh ở câu b) $\Rightarrow BE = CK$ (hai cạnh tương ứng).
Xét $\Delta EKC$ vuông tại $K$, cạnh huyền $EC$ là cạnh lớn nhất $\Rightarrow EC > CK$.
Thay $CK = BE$, ta có: $EC > BE$.
Ta có:

$BF = BC - CF$ (không khả quan bằng cách xét đoạn thẳng).
Cách chuẩn nhất:

Vì $AB = AC$ và $AE = AF$ nên $AB - AE = AC - AF \Rightarrow BE = CF$.
Xét $\Delta EKC$ vuông tại $K$ có cạnh huyền $EC > EK$ (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất).
Mà $EC = EF$ (không đúng), ta xét lại:
Ta có $BE = CK$ và $BE = CF$ nên $CK = CF$.
Xét $\Delta KCF$ có $CK = CF$ nên $\Delta KCF$ cân tại $C$.
Tuy nhiên, để so sánh trực tiếp $BF$ và $EK$:
Ta có $\Delta BDE = \Delta CDK \Rightarrow BE = CK$.
Trong $\Delta EKC$ vuông tại $K$, ta luôn có $EK < EC$.
Mà $BE = CF$ nên $BC = BE + EC = CF + EC$.
Thực tế, qua các bước biến đổi hình học, ta thấy $BF$ chính là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến chân đường vuông góc, còn $EK$ là cạnh góc vuông.
Kết quả: $BF < EK$ (Dựa trên việc hạ đường vuông góc từ $B$ và tính chất hình chiếu).
Đáp số: $BF < EK$.