Để chứng minh $SC \perp HK$ trong hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình thoi, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

1. Phân tích giả thiết
$SA \perp (ABCD) \implies SA \perp BC$ và $SA \perp CD$.
Đáy $ABCD$ là hình thoi $\implies AB = BC = CD = DA$ và $AC \perp BD$.
$AH \perp SB$ và $AK \perp SD$ (theo định nghĩa hình chiếu).

2. Các bước chứng minh
Bước 1: Chứng minh $BC \perp (SAB)$ và $CD \perp (SAD)$

Ta có: $BC \perp AB$ (vì đáy là hình thoi là sai, lưu ý: đáy là hình thoi không suy ra $BC \perp AB$).
Đính chính hướng đi: Vì đáy là hình thoi nên ta cần sử dụng tính chất đối xứng qua mặt phẳng $(SAC)$.
Bước 2: Chứng minh $\Delta SAB = \Delta SAD$

Xét hai tam giác vuông $SAB$ và $SAD$ có:

$SA$ là cạnh chung.
$AB = AD$ (do $ABCD$ là hình thoi).
$\implies \Delta SAB = \Delta SAD$ (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông).
Từ đó suy ra các đoạn tương ứng bằng nhau: $SB = SD$ và quan trọng nhất là $SH = SK$ (do $H, K$ là hình chiếu tương ứng của $A$).
Bước 3: Chứng minh $HK \perp (SAC)$

Trong tam giác $SBD$, tỉ số $\frac{SH}{SB} = \frac{SK}{SD}$ (do $SH=SK$ và $SB=SD$).
Theo định lí Ta-lét đảo $\implies HK // BD$.
Mà trong hình thoi $ABCD$, ta có $BD \perp AC$.
Lại có $BD \perp SA$ (vì $SA \perp (ABCD)$).
$\implies BD \perp (SAC)$.
Vì $HK // BD$ nên $HK \perp (SAC)$.
Bước 4: Kết luận

Vì $HK \perp (SAC)$ và đường thẳng $SC$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$.
$\implies \mathbf{SC \perp HK}$ (Điều phải chứng minh).

Tóm tắt logic:
$HK // BD \xrightarrow{BD \perp (SAC)} HK \perp (SAC) \xrightarrow{SC \subset (SAC)} SC \perp HK$

Để chứng minh SC⊥HK trong hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) và đáy ABCD là hình thoi, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

1. Phân tích giả thiết
SA⊥(ABCD)⟹SA⊥BC và SA⊥CD.
Đáy ABCD là hình thoi ⟹AB=BC=CD=DA và AC⊥BD.
AH⊥SB và AK⊥SD (theo định nghĩa hình chiếu).

2. Các bước chứng minh
Bước 1: Chứng minh BC⊥(SAB) và CD⊥(SAD)

Ta có: BC⊥AB (vì đáy là hình thoi là sai, lưu ý: đáy là hình thoi không suy ra BC⊥AB).
Đính chính hướng đi: Vì đáy là hình thoi nên ta cần sử dụng tính chất đối xứng qua mặt phẳng (SAC).
Bước 2: Chứng minh ΔSAB=ΔSAD

Xét hai tam giác vuông SAB và SAD có:

SA là cạnh chung.
AB=AD (do ABCD là hình thoi).
⟹ΔSAB=ΔSAD (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông).
Từ đó suy ra các đoạn tương ứng bằng nhau: SB=SD và quan trọng nhất là SH=SK (do H,K là hình chiếu tương ứng của A).
Bước 3: Chứng minh HK⊥(SAC)

Trong tam giác SBD, tỉ số SHSB=SKSD (do SH=SK và SB=SD).
Theo định lí Ta-lét đảo ⟹HK//BD.
Mà trong hình thoi ABCD, ta có BD⊥AC.
Lại có BD⊥SA (vì SA⊥(ABCD)).
⟹BD⊥(SAC).
Vì HK//BD nên HK⊥(SAC).
Bước 4: Kết luận

Vì HK⊥(SAC) và đường thẳng SC nằm trong mặt phẳng (SAC).
⟹SC⊥HK (Điều phải chứng minh).

Tóm tắt logic: