Chào bạn, đây là một bài toán tìm số nguyên tố khá hay, đòi hỏi chúng ta phải biết cách chặn khoảng giá trị của biến.

Biểu thức ban đầu có thể được viết lại như sau:

$\frac{a b + b c + c a}{a b c} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
Vì vậy, yêu cầu của đề bài là tìm các số nguyên tố đôi một khác nhau $a, b, c$ sao cho:

$\frac{23}{30} \le \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{7}{10}$
(Lưu ý: Có vẻ bạn đã ghi nhầm thứ tự dấu $\le$ ở đề bài vì $\frac{23}{30} \approx 0,76$ còn $\frac{7}{10} = 0,7$. Số lớn hơn không thể nhỏ hơn số bé hơn được. Mình sẽ giả sử đề đúng là: $\frac{7}{10} \le \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{23}{30}$)

Giải chi tiết
Giả sử các số nguyên tố được sắp xếp theo thứ tự: $a < b < c$. Vì $a, b, c$ là các số nguyên tố khác nhau, nên $a \ge 2, b \ge 3, c \ge 5$.

1. Chặn giá trị của $a$:

Nếu $a \ge 5$, thì $b \ge 7$ và $c \ge 11$. Khi đó:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} \approx 0,43 < 0,7 \text{ (Loại)}$
Vậy $a$ chỉ có thể là $2$ hoặc $3$.

2. Trường hợp $a = 2$:

Ta có: $\frac{7}{10} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{23}{30} \Rightarrow \frac{1}{5} \le \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{4}{15}$

Nếu $b = 3$: $\frac{1}{3} + \frac{1}{c} > \frac{1}{3} \approx 0,33 > \frac{4}{15} \approx 0,26$ (Loại vì tổng quá lớn).
Nếu $b = 5$: $\frac{1}{5} + \frac{1}{c} \le \frac{4}{15} \Rightarrow \frac{1}{c} \le \frac{1}{15} \Rightarrow c \ge 15$. Đồng thời $\frac{1}{5} + \frac{1}{c} \ge \frac{1}{5} \Rightarrow c$ có thể là bất kỳ số nguyên tố nào $> 5$. Tuy nhiên, để thỏa mãn $\le \frac{23}{30}$, ta thử các số nguyên tố $c \ge 17$.
Nếu $b = 7$: $\frac{1}{7} + \frac{1}{c} \ge \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{c} \ge \frac{2}{35} \Rightarrow c \le 17,5$. Vì $c > b = 7$ nên $c \in \{11, 13, 17\}$.

Thử $(2, 7, 11) \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} \approx 0,733$ (Thỏa mãn $0,7 \le 0,733 \le 0,766$).
Thử $(2, 7, 13) \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{13} \approx 0,719$ (Thỏa mãn).
Thử $(2, 7, 17) \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{17} \approx 0,701$ (Thỏa mãn).
3. Trường hợp $a = 3$:

Ta có: $\frac{7}{10} \le \frac{1}{3} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{23}{30} \Rightarrow \frac{11}{30} \le \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{13}{30}$

Nếu $b = 5$: $\frac{1}{5} + \frac{1}{c} \le \frac{13}{30} \Rightarrow \frac{1}{c} \le \frac{7}{30} \Rightarrow c \ge 4,2$.

Và $\frac{1}{5} + \frac{1}{c} \ge \frac{11}{30} \Rightarrow \frac{1}{c} \ge \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \Rightarrow c \le 6$.

Vì $c > b = 5$ nên không có số nguyên tố nào thỏa mãn.

Kết luận
Các bộ ba số $(a, b, c)$ thỏa mãn (và các hoán vị của chúng) là:

$(2, 7, 11)$
$(2, 7, 13)$
$(2, 7, 17)$
$(2, 5, c)$ với $c$ là số nguyên tố rất lớn (sao cho $\frac{1}{c}$ nhỏ để tổng không vượt quá $\frac{23}{30}$). Cụ thể $c \ge 17$.