Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

1. Phân tích quy luật của dãy số
Quan sát các mẫu số:
Số hạng thứ 1: 1 $\times$ 3 (với 1 và 3 là các số hạng của dãy số: 1, 3, 6, 10...)
Số hạng thứ 2: 3 $\times$ 6
Số hạng thứ 3: 6 $\times$ 10
Dãy số dưới mẫu (1, 3, 6, 10...) chính là dãy số tam giác. Công thức của số hạng thứ n trong dãy này là: $T_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} .$
- Vậy mẫu số của số hạng thứ n là: $T_{n} \times T_{n + 1} .$
- Tử số của số hạng thứ n là: n + 1.
- Số hạng tổng quát thứ n của tổng B là: $u_{n} = \frac{n + 1}{T_{n} \times T_{n + 1}}$
=> Thay công thức T_n vào, ta có:
$u_{n} = \frac{n + 1}{\frac{n (n + 1)}{2} \times \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}} = \frac{n + 1}{\frac{n {(n + 1)}^{2} (n + 2)}{4}} = \frac{4}{n (n + 1) (n + 2)}$
=> $\frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)})$

Vậy: $u_{n} = 4 \times \frac{1}{2} (\frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}) = 2 (\frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)})$
- Ta viết tổng B dưới dạng các hiệu kế tiếp:
$B = 2 [(\frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3}) + (\frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4}) + \dots + (\frac{1}{100 \cdot 101} - \frac{1}{101 \cdot 102})]$
=> Khi cộng lại, các số hạng ở giữa sẽ tự triệt tiêu lẫn nhau:
=> $B = 2 (\frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{101 \cdot 102})$
=> $B = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{10302})$
=> $B = 1 - \frac{2}{10302} = 1 - \frac{1}{5151}$
=> $B = \frac{5150}{5151}$
Vậy: Giá trị của tổng B với 100 số hạng đầu tiên là: $\frac{5150}{5151}$ .

...Xem thêm

Answer 2

1. Phân tích quy luật của dãy số
Quan sát các mẫu số:
Số hạng thứ 1: 1 $\times$ 3 (với 1 và 3 là các số hạng của dãy số: 1, 3, 6, 10...)
Số hạng thứ 2: 3 $\times$ 6
Số hạng thứ 3: 6 $\times$ 10
Dãy số dưới mẫu (1, 3, 6, 10...) chính là dãy số tam giác. Công thức của số hạng thứ n trong dãy này là: $T_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} .$
- Vậy mẫu số của số hạng thứ n là: $T_{n} \times T_{n + 1} .$
- Tử số của số hạng thứ n là: n + 1.
- Số hạng tổng quát thứ n của tổng B là: $u_{n} = \frac{n + 1}{T_{n} \times T_{n + 1}}$
=> Thay công thức T_n vào, ta có:
$u_{n} = \frac{n + 1}{\frac{n (n + 1)}{2} \times \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}} = \frac{n + 1}{\frac{n {(n + 1)}^{2} (n + 2)}{4}} = \frac{4}{n (n + 1) (n + 2)}$
=> $\frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)})$

Vậy: $u_{n} = 4 \times \frac{1}{2} (\frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}) = 2 (\frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)})$
- Ta viết tổng B dưới dạng các hiệu kế tiếp:
$B = 2 [(\frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3}) + (\frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4}) + \dots + (\frac{1}{100 \cdot 101} - \frac{1}{101 \cdot 102})]$
=> Khi cộng lại, các số hạng ở giữa sẽ tự triệt tiêu lẫn nhau:
=> $B = 2 (\frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{101 \cdot 102})$
=> $B = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{10302})$
=> $B = 1 - \frac{2}{10302} = 1 - \frac{1}{5151}$
=> $B = \frac{5150}{5151}$
Vậy: Giá trị của tổng B với 100 số hạng đầu tiên là: $\frac{5150}{5151}$ .

1 câu trả lời 103

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 6