Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

.................................

Answer 2

Chào bạn, mình sẽ đồng hành cùng bạn giải bài toán hình học này nhé. Có một chút nhầm lẫn nhỏ trong đề bài của bạn: bạn đã đặt tên M vừa là một điểm trên tia Ox, vừa là trung điểm của MN. Để bài toán logic, mình sẽ gọi trung điểm của MN là điểm A (như các câu hỏi a, b, c đã nhắc đến) nhé.

Dưới đây là lời giải chi tiết:

a. Chứng minh $\triangle MOA = \triangle NOA$
Xét $\triangle MOA$ và $\triangle NOA$ có:

$OM = ON$ (theo giả thiết)
$OA$ là cạnh chung
$MA = NA$ (vì $A$ là trung điểm của $MN$)
Do đó, $\triangle MOA = \triangle NOA$ (cạnh - cạnh - cạnh).

Hệ quả: Từ đây ta suy ra $\widehat{MOA} = \widehat{NOA}$ (hai góc tương ứng), hay $OA$ là tia phân giác của góc $xOy$. Đồng thời $\widehat{OAM} = \widehat{OAN} = 90^\circ$ (vì chúng bằng nhau và kề bù).

b. Chứng minh $\widehat{BNA} = \widehat{ONA}$
Xét $\triangle BNA$ và $\triangle ONA$ có:

$AN$ là cạnh chung
$\widehat{BAN} = \widehat{OAN} = 90^\circ$ (do $OA \perp MN$ tại $A$ và $B$ nằm trên tia đối của $AO$)
$AB = AO$ (theo giả thiết)
Do đó, $\triangle BNA = \triangle ONA$ (cạnh - góc - cạnh).

Suy ra: $\widehat{BNA} = \widehat{ONA}$ (hai góc tương ứng).

c. Chứng minh H, A, K thẳng hàng
Để chứng minh $H, A, K$ thẳng hàng, chúng ta sẽ sử dụng tính chất đường trung bình hoặc tính chất hình bình hành.

Xét tứ giá OMBN:

Ta có $A$ là trung điểm của $MN$ (giả thiết).
$A$ là trung điểm của $OB$ (vì $AO = AB$ theo giả thiết).
Vì hai đường chéo $MN$ và $OB$ cắt nhau tại trung điểm $A$ mỗi đường nên tứ giác $OMBN$ là hình bình hành.
Sử dụng tính chất hình bình hành:

Vì $OMBN$ là hình bình hành nên $ON // MB$ và $ON = MB$.
Gọi $K$ là trung điểm của $ON$, $H$ là trung điểm của $MB$.
Do $ON // MB$ nên $OK // MH$.
Mặt khác $OK = \frac{1}{2}ON$ và $MH = \frac{1}{2}MB$. Vì $ON = MB$ nên $OK = MH$.
Tứ giác $OKHM$ có một cặp cạnh đối $OK$ và $MH$ vừa song song vừa bằng nhau nên $OKHM$ là hình bình hành.
Kết luận:

Hình bình hành $OKHM$ có hai đường chéo là $OH$ và $KM$.
Tuy nhiên, xét cách khác đơn giản hơn: Trong hình bình hành $OMBN$, $A$ là tâm đối xứng (giao điểm hai đường chéo).
Vì $K$ và $H$ là trung điểm của hai cạnh đối $ON$ và $MB$, nên theo tính chất hình bình hành, đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối phải đi qua tâm đối xứng $A$.
Vậy $H, A, K$ thẳng hàng.

Bạn có muốn mình hướng dẫn thêm cách trình bày bài toán này theo phương pháp cộng góc để chứng minh thẳng hàng không?

...Xem thêm

Answer 3