Bài a: 27+311+513+717+111927 + 311 + 513 + 717 + 111927+311+513+717+1119
Nhận xét các số: tất cả đều là số lẻ, nhưng điều quan trọng là ta cần kiểm tra chia hết cho một số nguyên tố nhỏ.
Thử chia cho 3:
Quy tắc: một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số chia hết cho 3.
Tính tổng các chữ số từng số:

27 → 2+7=9 → chia hết cho 3 ✅
311 → 3+1+1=5 → không chia hết cho 3 ❌
513 → 5+1+3=9 → chia hết cho 3 ✅
717 → 7+1+7=15 → chia hết cho 3 ✅
1119 → 1+1+1+9=12 → chia hết cho 3 ✅
Tổng các số: 27+311+513+717+1119 = 2687
Tính tổng các chữ số của 2687: 2+6+8+7=23 → không chia hết cho 3
✅ Vậy chia hết cho 3 không được, thử chia hết cho 7.

Kiểm tra tổng theo mod 7:

27 mod 7 = 6
311 mod 7 → 311/7=44 dư 3 → mod 7 =3
513 mod 7 → 513/7=73 dư 2 → mod 7=2
717 mod 7 → 717/7=102 dư 3 → mod 7=3
1119 mod 7 → 1119/7=159 dư 6 → mod 7=6
Cộng dư: 6+3+2+3+6=20 → 20 mod 7=6 → không chia hết cho 7
Thử chia hết cho 13:

27 mod 13=1
311 mod 13 → 311/13=23 dư 12 → mod 13=12
513/13=39 dư 6 → mod 13=6
717/13=55 dư 2 → mod 13=2
1119/13=86 dư 1 → mod 13=1
Tổng dư: 1+12+6+2+1=22 → 22 mod 13=9 → không chia hết
Thử chia hết cho 17:

27 mod17=10
311/17=18 dư 5 → mod17=5
513/17=30 dư 3 → mod17=3
717/17=42 dư 3 → mod17=3
1119/17=65 dư 14 → mod17=14
Tổng dư: 10+5+3+3+14=35 → 35 mod17=1 → không chia hết
Thử chia hết cho 11:

Quy tắc: hiệu tổng các chữ số ở vị trí chẵn và lẻ chia hết cho 11
27: 2-7=-5 → không chia hết
311: 3-1+1=3 → không chia hết
513: 5-1+3=7 → không chia hết
717: 7-1+7=13 → không chia hết
1119:1-1+1-9=-8 → không chia hết
Phương pháp khác: nhận xét 27=3³, 513=3×171, 717=3×239, 1119=3×373 → tất cả đều chia hết cho 3, trừ 311

27+311+513+717+1119 = 2687
Kiểm tra chia hết cho 7 không được, thử chia hết cho 13: cũng không được
Kiểm tra chia hết cho 37:

27/37 <1
311/37=8 dư 15
513/37=13 dư 32
717/37=19 dư 14
1119/37=30 dư 9
Cộng các dư: 0+15+32+14+9=70 → 70 mod37=70-37=33 → không được
Thực tế, cách tốt nhất: kiểm tra chia hết cho 7, 13, 17, 19,… hoặc thử phân tích thừa số nhỏ hơn

Bài b: 1+2123+23124+251251 + 2123 + 23124 + 251251+2123+23124+25125
Tất cả các số đều lớn, nhưng lưu ý tổng là số lẻ → >1 → hợp số

Mình nhận thấy cách chứng minh hợp số cần phân tích chia hết cho một số nguyên tố nhỏ hoặc ghi nhận là tổng các số >1 và có ước số chung.

Nếu bạn muốn, mình có thể viết chi tiết cách chứng minh cả a) và b) theo kiểu chia hết cho 3, 7,… để kết luận là hợp số.

a) Chứng minh $A = 2^7 + 3^{11} + 5^{13} + 7^{17} + 11^{19} là hợp số
Ta xét tính chẵn lẻ của từng số hạng trong tổng:

2^7: Là lũy thừa của 2 nên là một số chẵn.
3^{11}: Là lũy thừa của một số lẻ nên là một số lẻ.
5^{13}: Là lũy thừa của một số lẻ nên là một số lẻ.
7^{17}: Là lũy thừa của một số lẻ nên là một số lẻ.
11^{19}: Là lũy thừa của một số lẻ nên là một số lẻ.
Tổng A sẽ có tính chẵn lẻ như sau:

A = {Chẵn} + {Lẻ} + {Lẻ} + {Lẻ} + {Lẻ}
Ta biết rằng: {Lẻ} + {Lẻ} = {Chẵn}.
Vậy: A = {Chẵn} + ({Lẻ} + {Lẻ}) + ({Lẻ} + {Lẻ}) = {Chẵn} + {Chẵn} + {Chẵn} = {Chẵn}.
Vì A > 2 và A là số chẵn, nên A chia hết cho 2. Do đó, A là hợp số.