• $F(x)=4$F(x)=4 nghĩa là $x$x có đúng 4 ước số dương.

• Số có 4 ước số dương thường có dạng:

  • $x=p^3$x=p3 với $p$p là số nguyên tố (ước số là $1,p,p^2,p^3$1,p,p2,p3)
  • hoặc $x=p\times q$x=p×q với $p,q$p,q là 2 số nguyên tố khác nhau (ước số là $1,p,q,pq$1,p,q,pq)

• Khoảng cách giữa 2 ước bất kỳ của $x$x tối thiểu là $k$k nghĩa là:

  • Với mọi cặp ước số $d_1,d_2$d1​,d2​ của $x$x, ta có $\mathrm{\mid }{d}_1-d_2\mathrm{\mid }\ge k$∣d1​−d2​∣≥k.

• Nếu $x=p^3$x=p3, ước số là: $\{1,p,p^2,p^3\}${1,p,p2,p3}.
• Nếu $x=p\times q$x=p×q, ước số là: $\{1,p,q,pq\}${1,p,q,pq}.

• 4 ước số: $1,p,p^2,p^3$1,p,p2,p3.

• Các khoảng cách giữa các ước số:

  • $p-1$p−1
  • $p^2-p=p(p-1)$p2−p=p(p−1)
  • $p^3-p^2=p^2(p-1)$p3−p2=p2(p−1)
  • Khoảng cách nhỏ nhất là $\min (p-1,p(p-1),p^2(p-1))=p-1$min(p−1,p(p−1),p2(p−1))=p−1.

• Do đó, khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 ước số là $p-1$p−1.

• Yêu cầu: $p-1\ge k\Rightarrow p\ge k+1$p−1≥k⇒p≥k+1.

• Số $x=p^3$x=p3 nhỏ nhất với $p\ge k+1$p≥k+1 là $(k+1{)}^3$(k+1)3.

• 4 ước số: $1,p,q,pq$1,p,q,pq.

• Các khoảng cách:

  • $p-1$p−1
  • $q-p$q−p
  • $pq-q=q(p-1)$pq−q=q(p−1)
  • $q-1$q−1
  • $pq-p=p(q-1)$pq−p=p(q−1)
  • $p-1$p−1 và $q-p$q−p là các khoảng cách nhỏ nhất có thể.

• Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 ước số là:

  $$\min (p-1,q-p,q-1,pq-q,pq-p)$$min(p−1,q−p,q−1,pq−q,pq−p)

  Nhưng các khoảng cách lớn như $pq-q$pq−q hoặc $pq-p$pq−p thường rất lớn, nên khoảng cách nhỏ nhất thường là $\min (p-1,q-p)$min(p−1,q−p).

• Yêu cầu: $\min (p-1,q-p)\ge k$min(p−1,q−p)≥k.

• Tức là:

  • $p-1\ge k\Rightarrow p\ge k+1$p−1≥k⇒p≥k+1
  • $q-p\ge k\Rightarrow q\ge p+k$q−p≥k⇒q≥p+k

• Mục tiêu: tìm $p,q$p,q nguyên tố thỏa mãn trên sao cho $x=p\times q$x=p×q nhỏ nhất.

• Trường hợp 1: $x=(k+1{)}^3$x=(k+1)3.
• Trường hợp 2: Tìm $p,q$p,q nguyên tố sao cho:
  • $p\ge k+1$p≥k+1
  • $q\ge p+k$q≥p+k
  • $x=p\times q$x=p×q nhỏ nhất.

• Bước 1: Tính $x_1=(k+1{)}^3$x1​=(k+1)3.
• Bước 2: Tìm $p$p nguyên tố nhỏ nhất $\ge k+1$≥k+1.
• Bước 3: Tìm $q$q nguyên tố nhỏ nhất $\ge p+k$≥p+k.
• Bước 4: Tính $x_2=p\times q$x2​=p×q.
• Bước 5: So sánh $x_1$x1​ và $x_2$x2​, chọn giá trị nhỏ hơn.

Giả sử $k=2$k=2:

• Trường hợp 1: $x_1=(2+1{)}^3=3^3=27$x1​=(2+1)3=33=27.
• Trường hợp 2:
  • $p\ge 3$p≥3, chọn $p=3$p=3 (nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn).
  • $q\ge 3+2=5$q≥3+2=5, chọn $q=5$q=5 (nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn).
  • $x_2=3\times 5=15$x2​=3×5=15.
• So sánh: $15<27$15<27, chọn $x=15$x=15.

• Với mỗi $k$k, ta tìm $p,q$p,q nguyên tố thỏa mãn $p\ge k+1$p≥k+1, $q\ge p+k$q≥p+k.
• $x=p\times q$x=p×q hoặc $x=(k+1{)}^3$x=(k+1)3.
• Kết quả là số nhỏ nhất trong 2 giá trị trên.

• Tìm $p$p nguyên tố nhỏ nhất sao cho $p\ge k+1$p≥k+1.
• Tìm $q$q nguyên tố nhỏ nhất sao cho $q\ge p+k$q≥p+k.
• So sánh $(k+1{)}^3$(k+1)3 và $p\times q$p×q.
• Số nguyên dương $x$x nhỏ nhất thỏa mãn là:

với $p,q$p,q nguyên tố thỏa mãn điều kiện trên.