Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hàm số đã cho có dạng tổng quát là hàm phân thức hữu tỉ (còn gọi là hàm Hyperbol):

$y = \frac{ax+b}{cx+d}$

Trong đó, hàm số của bạn là $y = \frac{x-1}{x+1}$. Đây là một hàm mà tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ $M$ thuộc đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận của nó là một hằng số.

1. Tìm phương trình các đường tiệm cận
Hàm số là $y = \frac{x-1}{x+1}$.

Tiệm cận đứng (TCĐ): Là nghiệm của mẫu số $x+1=0$.

$\text{TCĐ } d_1: x = -1$
Tiệm cận ngang (TCN): Là tỉ số của hệ số $x$ ở tử và mẫu $\frac{a}{c}$.

$\text{TCN } d_2: y = \frac{1}{1} = 1$

2. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến các đường tiệm cận
Gọi $M(x_0, y_0)$ là một điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số, với $x_0 \neq -1$.

Khi đó, tọa độ của $M$ thỏa mãn:

$y_0 = \frac{x_0-1}{x_0+1}$
Khoảng cách từ $M$ đến TCĐ $d_1: x+1=0$ (hay $x=-1$):

$d_1(M) = |x_0 - (-1)| = |x_0 + 1|$
Khoảng cách từ $M$ đến TCN $d_2: y-1=0$ (hay $y=1$):

$d_2(M) = |y_0 - 1|$

Thay $y_0$ vào:

$d_2(M) = \left|\frac{x_0-1}{x_0+1} - 1\right| = \left|\frac{(x_0-1) - (x_0+1)}{x_0+1}\right| = \left|\frac{x_0 - 1 - x_0 - 1}{x_0+1}\right| = \left|\frac{-2}{x_0+1}\right| = \frac{2}{|x_0+1|}$

3. Tính tích khoảng cách
Tích khoảng cách từ $M$ đến hai đường tiệm cận là $P$:

$P = d_1(M) \cdot d_2(M)$
Thay biểu thức $d_1(M)$ và $d_2(M)$ đã tính được:

$P = |x_0 + 1| \cdot \frac{2}{|x_0+1|} = 2$
Vì $x_0 \neq -1$, nên $|x_0+1|$ luôn khác 0 và có thể giản ước.

🔑 Kết quả
Tích khoảng cách từ điểm $M$ bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận là một hằng số và bằng 2.

💡 Lưu ý (Công thức tổng quát)
Đối với hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, tích khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị đến hai đường tiệm cận luôn bằng:

$P = \frac{|ad - bc|}{c^2}$

Áp dụng cho $y = \frac{1x-1}{1x+1}$, ta có $a=1, b=-1, c=1, d=1$.

$\text{TCĐ } d_1: x = -1$ 0

...Xem thêm

Answer 2