Để chứng minh phân số $A = \frac{12n+1}{30n+2}$ là phân số tối giản, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (UCLN) của tử số $(12n+1)$ và mẫu số $(30n+2)$ bằng 1, với $n$ là số nguyên.

Tuy nhiên, tôi nhận thấy trong đề bài của bạn có một lỗi đánh máy nhỏ ở mẫu số. Nếu phân số là $\frac{12n+1}{30n+1}$, thì cách chứng minh sẽ đơn giản và rõ ràng hơn rất nhiều.

Tôi sẽ chứng minh cho trường hợp phổ biến và có ý nghĩa toán học hơn là:

$A = \frac{12n+1}{30n+2}$
 

Sau đó, tôi sẽ chứng minh cho trường hợp bạn có thể đã gõ nhầm: $\frac{12n+1}{30n+1}$.

1. Chứng minh Phân số $\frac{12n+1}{30n+2}$
Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $(12n+1)$ và $(30n+2)$, tức là:

$d = \text{UCLN}(12n+1, 30n+2)$
Vì $d$ là ước chung, nên:

$12n+1$ chia hết cho $d$
$30n+2$ chia hết cho $d$
Áp dụng tính chất: Nếu $a \vdots d$ và $b \vdots d$ thì $(ka - lb) \vdots d$ (với $k, l$ là số nguyên).

Ta nhân tử số $(12n+1)$ với 5 và mẫu số $(30n+2)$ với 2:

$5 \times (12n+1) = 60n + 5$
$2 \times (30n+2) = 60n + 4$
Vì $(12n+1) \vdots d$ nên $(60n+5) \vdots d$.

Vì $(30n+2) \vdots d$ nên $(60n+4) \vdots d$.

Ta xét hiệu của hai biểu thức trên:

$(60n + 5) - (60n + 4) = 60n + 5 - 60n - 4 = 1$
Vì hiệu này chia hết cho $d$, nên:

$1 \vdots d$
Điều này chỉ xảy ra khi $d = 1$.

Vì ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số bằng 1, nên phân số $\frac{12n+1}{30n+2}$ là phân số tối giản (hay phân số không thể rút gọn).

2. Chứng minh Phân số $\frac{12n+1}{30n+1}$ (Trường hợp gõ nhầm)
Nếu đề bài là $\frac{12n+1}{30n+1}$, cách chứng minh thậm chí còn đơn giản hơn.

Gọi $d = \text{UCLN}(12n+1, 30n+1)$.

Ta có:

$(12n+1) \vdots d$
$(30n+1) \vdots d$
Nhân $(12n+1)$ với 5 và $(30n+1)$ với 2:

$5 \times (12n+1) = 60n + 5$
$2 \times (30n+1) = 60n + 2$
Xét hiệu:

$(60n + 5) - (60n + 2) = 3$
Vì hiệu này chia hết cho $d$, nên:

$3 \vdots d$
 

Suy ra $d$ có thể là 1 hoặc 3.

Tuy nhiên, ta thấy $(12n+1)$ có dạng $3k+1$ (ví dụ: $12n$ luôn chia hết cho 3, nên $12n+1$ luôn chia 3 dư 1).

Nếu $d = 3$, thì $(12n+1)$ phải chia hết cho 3.
Nhưng $12n+1 = 3 \times (4n) + 1$.
Vì $12n$ chia hết cho 3, nên $12n+1$ không chia hết cho 3.
Điều này mâu thuẫn. Vậy, $d$ không thể bằng 3.

Do đó, $d$ chỉ có thể là 1.

Phân số $\frac{12n+1}{30n+1}$ là phân số tối giản.

Để chứng minh phân số A=12n+130n+2 là phân số tối giản, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (UCLN) của tử số (12n+1) và mẫu số (30n+2) bằng 1, với n là số nguyên.

Tuy nhiên, tôi nhận thấy trong đề bài của bạn có một lỗi đánh máy nhỏ ở mẫu số. Nếu phân số là 12n+130n+1, thì cách chứng minh sẽ đơn giản và rõ ràng hơn rất nhiều.

Tôi sẽ chứng minh cho trường hợp phổ biến và có ý nghĩa toán học hơn là:

A
 

Sau đó, tôi sẽ chứng minh cho trường hợp bạn có thể đã gõ nhầm: 12n+130n+1.

1. Chứng minh Phân số 12n+130n+2
Gọi d là ước chung lớn nhất của (12n+1) và (30n+2), tức là:

d
Vì d là ước chung, nên:

12n+1 chia hết cho d
30n+2 chia hết cho d
Áp dụng tính chất: Nếu a⋮d và b⋮d thì (ka−lb)⋮d (với k,l là số nguyên).

Ta nhân tử số (12n+1) với 5 và mẫu số (30n+2) với 2:

5×(12n+1)=60n+5
2×(30n+2)=60n+4
Vì (12n+1)⋮d nên (60n+5)⋮d.

Vì (30n+2)⋮d nên (60n+4)⋮d.

Ta xét hiệu của hai biểu thức trên:

(
Vì hiệu này chia hết cho d, nên:

1
Điều này chỉ xảy ra khi d=1.

Vì ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số bằng 1, nên phân số 12n+130n+2 là phân số tối giản (hay phân số không thể rút gọn).

2. Chứng minh Phân số 12n+130n+1 (Trường hợp gõ nhầm)
Nếu đề bài là 12n+130n+1, cách chứng minh thậm chí còn đơn giản hơn.

Gọi d=UCLN(12n+1,30n+1).

Ta có:

(12n+1)⋮d
(30n+1)⋮d
Nhân (12n+1) với 5 và (30n+1) với 2:

5×(12n+1)=60n+5
2×(30n+1)=60n+2
Xét hiệu:

(
Vì hiệu này chia hết cho d, nên:

3
 

Suy ra d có thể là 1 hoặc 3.

Tuy nhiên, ta thấy (12n+1) có dạng 3k+1 (ví dụ: 12n luôn chia hết cho 3, nên 12n+1 luôn chia 3 dư 1).

Nếu d=3, thì (12n+1) phải chia hết cho 3.
Nhưng 12n+1=3×(4n)+1.
Vì 12n chia hết cho 3, nên 12n+1 không chia hết cho 3.
Điều này mâu thuẫn. Vậy, d không thể bằng 3.

Do đó, d chỉ có thể là 1.

Phân số 12n+130n+1 là phân số tối giản.