### a) Chứng minh: $BE \cdot AB + CD \cdot AC = BC^2$

Trong $\triangle ABC$, ta có các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
* Xét $\triangle BEC$ vuông tại E, ta có $BE = BC \cos B$.
* Xét $\triangle BDC$ vuông tại D, ta có $CD = BC \cos C$.

Thay các giá trị này vào biểu thức, ta được:
$BE \cdot AB + CD \cdot AC = (BC \cos B) \cdot AB + (BC \cos C) \cdot AC$
$= BC (AB \cos B + AC \cos C)$

Áp dụng định lí hình chiếu trong $\triangle ABC$, ta có:
$BC = AB \cos B + AC \cos C$

Do đó, biểu thức trở thành:
$BC (AB \cos B + AC \cos C) = BC \cdot BC = BC^2$
Vậy, $BE \cdot AB + CD \cdot AC = BC^2$.

---

### b) Chứng minh: $DH \cdot DB = DP^2$

* Ta có $\angle APC = 90^\circ$ (theo giả thiết) và $\angle ADC = 90^\circ$ (vì BD là đường cao).
* Hai đỉnh P và D cùng nhìn cạnh AC dưới một góc vuông, do đó **tứ giác APDC nội tiếp** một đường tròn có đường kính là AC.
* Xét $\triangle DPC$ và $\triangle DAC$:
* $\angle PDC = \angle ADC = 90^\circ$.
* $\angle PCD$ là góc chung.
* Suy ra $\triangle DPC \sim \triangle DAC$ (g.g).
* Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng: $\frac{DP}{DA} = \frac{DC}{DP} \implies DP^2 = AD \cdot DC$.
* Xét $\triangle HDA$ và $\triangle BDC$:
* $\angle HDA = \angle BDC = 90^\circ$.
* $\angle HAD = 90^\circ - \angle ACB$ (trong $\triangle ADC$).
* $\angle DBC = 90^\circ - \angle ACB$ (trong $\triangle BDC$).
* Suy ra $\angle HAD = \angle DBC$.
* Vậy $\triangle HDA \sim \triangle BDC$ (g.g).
* Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng: $\frac{HD}{BD} = \frac{AD}{CD} \implies HD \cdot BD = AD \cdot CD$.
* Kết hợp hai kết quả trên, ta suy ra $DH \cdot DB = DP^2$ (cùng bằng $AD \cdot DC$).