Để tìm giá trị nguyên \( x \) sao cho biểu thức \( A = \frac{3x + 5}{x - 1} \) nhận giá trị nguyên **nhỏ nhất**, ta làm như sau:

### **Bước 1: Biến đổi biểu thức \( A \)**
Ta có:
\[
A = \frac{3x + 5}{x - 1}
\]
Chia tử cho mẫu (hoặc tách tử số):
\[
A = \frac{3x - 3 + 8}{x - 1} = \frac{3(x - 1) + 8}{x - 1} = 3 + \frac{8}{x - 1}
\]
Như vậy, \( A \) nguyên khi và chỉ khi \( \frac{8}{x - 1} \) nguyên, tức là \( x - 1 \) phải là ước của 8.

### **Bước 2: Tìm các ước của 8**
Các ước nguyên của 8 là:
\[
x - 1 \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \}
\]
Từ đó, ta tìm được các giá trị tương ứng của \( x \):
\[
x \in \{ -7, -3, -1, 0, 2, 3, 5, 9 \}
\]

### **Bước 3: Tính giá trị của \( A \) tương ứng**
Ta có \( A = 3 + \frac{8}{x - 1} \). Tính \( A \) cho từng giá trị \( x \):

| \( x \) | \( x - 1 \) | \( \frac{8}{x - 1} \) | \( A = 3 + \frac{8}{x - 1} \) |
|--------|------------|----------------------|-------------------------------|
| -7 | -8 | -1 | 2 |
| -3 | -4 | -2 | 1 |
| -1 | -2 | -4 | -1 |
| 0 | -1 | -8 | -5 |
| 2 | 1 | 8 | 11 |
| 3 | 2 | 4 | 7 |
| 5 | 4 | 2 | 5 |
| 9 | 8 | 1 | 4 |

### **Bước 4: Xác định giá trị nguyên nhỏ nhất của \( A \)**
Từ bảng trên, ta thấy các giá trị nguyên của \( A \) là:
\[
A \in \{ -5, -1, 1, 2, 4, 5, 7, 11 \}
\]
Giá trị **nhỏ nhất** trong các giá trị này là \( A = -5 \), ứng với \( x = 0 \).

### **Kết luận**
Giá trị nguyên \( x \) để \( A \) nhận giá trị nguyên **nhỏ nhất** là:
\[
\boxed{0}
\]