1.

    Đặt $OA = d$, $OA' = d'$. $OF = OF' = f$.

    Theo đề bài:

    $A$ cách $F$ một đoạn $a \Rightarrow AF = |d-f| = a$. Vì ảnh thật nên vật thật phải nằm ngoài $F \Rightarrow d > f \Rightarrow d-f = a$.

    Ảnh $A'$ cách $F'$ một đoạn $b \Rightarrow A'F' = |d'-f| = b$. Vì ảnh thật nên $d' > f \Rightarrow d'-f = b$.

    Xét các cặp tam giác đồng dạng (hình vẽ tự dựng):

    Gọi $I$ là giao điểm của tia tới song song trục chính (đi qua $B$) với thấu kính, $OI = AB$.

    $\triangle FOI \sim \triangle FA'B'$ (g.g)

    $\Rightarrow \frac{OI}{A'B'} = \frac{OF}{A'F'} \Rightarrow \frac{AB}{A'B'} = \frac{f}{b}$ (1)

    Gọi $J$ là giao điểm của tia tới qua $F$ (đi qua $B$) với thấu kính, $OJ = A'B'$. (Hoặc xét tia từ B qua O, rồi xét $\triangle ABF$ và $\triangle MOF'$ với M là điểm trên trục chính sao cho BM // OF').

    Cách khác chuẩn hơn: Xét $\triangle ABF \sim \triangle OIF'$ (nếu tia sáng từ B qua F, khúc xạ song song trục chính, cắt F'O kéo dài tại I, $OI=A'B'$). Hoặc đơn giản hơn:

    $\triangle ABF \sim \triangle HOF$ (H là chân đường cao từ O xuống BI nếu BI là tia qua B, qua F. Cách này phức tạp).

    $\triangle ABF \sim \triangle OLF'$ (với $L$ là điểm trên thấu kính sao cho $BL$ là tia đi qua $F$, tia ló $LA'$ song song trục chính, $OL=A'B'$).

    $\Rightarrow \frac{AB}{OL} = \frac{AF}{OF'} \Rightarrow \frac{AB}{A'B'} = \frac{a}{f}$ (2)

    Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{f}{b} = \frac{a}{f} \Rightarrow f^2 = ab \Rightarrow f = \sqrt{ab}$ (đpcm).

2.

 Trạng thái 1: vị trí vật $d_1$, vị trí ảnh $d'_1$.

 Trạng thái 2:

    Vật dịch ra xa thêm 10 cm: $d_2 = d_1 + 10$ (cm).

    Ảnh dịch chuyển 20 cm. Vật ra xa $\Rightarrow$ ảnh thật dịch lại gần thấu kính: $d'_2 = d'_1 - 20$ (cm).

    Độ phóng đại ảnh lúc sau: $A'_2B'_2 = \frac{1}{2}AB \Rightarrow |k_2| = \frac{A'_2B'_2}{AB} = \frac{d'_2}{d_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow d_2 = 2d'_2$.

 Áp dụng công thức thấu kính cho trạng thái 2:

    $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{d'_2}$

    Thay $d_2 = 2d'_2$: $\frac{1}{f} = \frac{1}{2d'_2} + \frac{1}{d'_2} = \frac{3}{2d'_2} \Rightarrow d'_2 = \frac{3}{2}f$.

    Suy ra $d_2 = 2d'_2 = 2 \cdot \frac{3}{2}f = 3f$.

 Thay vào mối liên hệ giữa $d_1, d'_1$ và $d_2, d'_2$:

    $d_1 = d_2 - 10 = 3f - 10$.

    $d'_1 = d'_2 + 20 = \frac{3}{2}f + 20$.

 Áp dụng công thức thấu kính cho trạng thái 1:

    $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d'_1}$

    $\frac{1}{f} = \frac{1}{3f-10} + \frac{1}{\frac{3}{2}f+20}$

    $\Rightarrow (3f-10)(\frac{3}{2}f+20) = f(\frac{3}{2}f+20 + 3f-10)$

    $\Rightarrow \frac{9}{2}f^2 + 60f - 15f - 200 = f(\frac{9}{2}f+10)$

    $\Rightarrow \frac{9}{2}f^2 + 45f - 200 = \frac{9}{2}f^2 + 10f$

    $\Rightarrow 35f = 200$

    $\Rightarrow f = \frac{200}{35} = \frac{40}{7}$ (cm).

Vậy, tiêu cự của thấu kính là $f = \frac{40}{7}$ cm.