Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Gọi hệ trục tọa độ:

Gán A(0,0,0), B(2a,0,0), D(0,2a,0), C(2a,2a,0)
Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, nên mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD), và đỉnh S phải nằm trên đường trung trực của AB, và cao hơn mặt phẳng đáy.

AB có trung điểm H=(a,0,0)

Tam giác SAB đều → chiều cao kẻ từ đỉnh S đến đáy AB cũng là trung tuyến → S nằm trên đường vuông góc tại trung điểm H.

Gọi S(a,0,h). Khi đó:

AB=2a
Tam giác SAB đều ⇒ SA=SB=AB=2a

=> Dùng định lý Pythagoras cho tam giác vuông SAH:

$S A^{2} = A H^{2} + h^{2} = a^{2} + h^{2} = {(2 a)}^{2} = 4 a^{2} = > h^{2} = 3 a^{2} = > h = a \sqrt{3}$

Vậy tọa độ S=(a,0,a

\sqrt{3}

)

a) Chứng minh BC⊥(SAB)

Vector:

\overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{C} - \overset{⇀}{B} = (0, 2 a, 0) \overset{⇀}{S A} = (a, 0, a \sqrt{3}) \overset{⇀}{S B} = (- a, 0, a \sqrt{3})

Tích vô hướng:

\overset{⇀}{B C} . \overset{⇀}{S A} = 0 . a + 2 a . 0 + 0 . a \sqrt{3} = 0 \overset{⇀}{B C} . \overset{⇀}{S B} = 0 . (- a) + 2 a . 0 + 0 . a \sqrt{3} = 0 = > \overset{⇀}{B C} ⊥ \overset{⇀}{S A} v à \overset{⇀}{B C} ⊥ \overset{⇀}{S B}

Suy ra: BC⊥(SAB)

b) Chứng minh AM⊥(SBC)

Gọi:

M là trung điểm của SB, S= $(a, 0, a \sqrt{3}), B = (2 a, 0, 0)$

-> $M = (\frac{a + 2 a}{2}, 0, \frac{a \sqrt{3} + 0}{2}) = (\frac{3 a}{2}, 0, \frac{a \sqrt{3}}{2})$

A=(0,0,0)

$- > A M = (\frac{3 a}{2}, 0, \frac{a \sqrt{3}}{2})$

Trong mặt phẳng (SBC), ta có:

\overset{⇀}{S B} = (a, 0, - a \sqrt{3}) \overset{⇀}{S C} = (a, 2 a, - a \sqrt{3})

Tích vô hướng:

\overset{⇀}{A M} . \overset{⇀}{S B} = \frac{3 a}{2} . a + 0.0 + \frac{a \sqrt{3}}{2} . (- a \sqrt{3}) = \frac{3 a^{2}}{2} - \frac{3 a^{2}}{2} = 0 \overset{⇀}{A M} . \overset{⇀}{S C} = \frac{3 a}{2} . a + 0.2 a + \frac{a \sqrt{3}}{2} . (- a \sqrt{3}) = \frac{3 a^{2}}{2} - \frac{3 a^{2}}{2} = 0 = > \overset{⇀}{A M} ⊥ \overset{⇀}{S B} v à \overset{⇀}{A M} ⊥ \overset{⇀}{S C}

Vậy AM⊥(SBC)

c) Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD). Tính tan⁡α

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến hoặc là góc giữa đường thẳng vuông góc với mặt đáy và giao tuyến của hai mặt phẳng.

Ở đây:

Mặt đáy (ABCD) nằm trong mặt phẳng z=0
Mặt phẳng (SAC) cắt đáy theo giao tuyến là đường AC

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng = góc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng đáy (ABCD)
⇒ Là góc giữa SA (vuông góc với đáy) và mặt phẳng đáy, chiếu SA xuống đáy, rồi xét góc giữa SA và hình chiếu đó trên đáy.

Ta cần tính góc giữa 2 vectơ:

\overset{⇀}{S A} = (a, 0, a \sqrt{3}) H ì n h c h i ế u c ủ a S A x u ố n g đ á y l à \overset{⇀}{A H} = (a, 0, 0)

→ Ta tính góc giữa SA và mặt đáy:

tanα=

\sqrt{3}

0

...Xem thêm

Answer 2

Gọi hệ trục tọa độ:

Gán A(0,0,0), B(2a,0,0), D(0,2a,0), C(2a,2a,0)
Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, nên mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD), và đỉnh S phải nằm trên đường trung trực của AB, và cao hơn mặt phẳng đáy.

AB có trung điểm H=(a,0,0)

Tam giác SAB đều → chiều cao kẻ từ đỉnh S đến đáy AB cũng là trung tuyến → S nằm trên đường vuông góc tại trung điểm H.

Gọi S(a,0,h). Khi đó:

AB=2a
Tam giác SAB đều ⇒ SA=SB=AB=2a

=> Dùng định lý Pythagoras cho tam giác vuông SAH:

$S A^{2} = A H^{2} + h^{2} = a^{2} + h^{2} = {(2 a)}^{2} = 4 a^{2} = > h^{2} = 3 a^{2} = > h = a \sqrt{3}$

Vậy tọa độ S=(a,0,a

\sqrt{3}

)

a) Chứng minh BC⊥(SAB)

Vector:

\overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{C} - \overset{⇀}{B} = (0, 2 a, 0) \overset{⇀}{S A} = (a, 0, a \sqrt{3}) \overset{⇀}{S B} = (- a, 0, a \sqrt{3})

Tích vô hướng:

\overset{⇀}{B C} . \overset{⇀}{S A} = 0 . a + 2 a . 0 + 0 . a \sqrt{3} = 0 \overset{⇀}{B C} . \overset{⇀}{S B} = 0 . (- a) + 2 a . 0 + 0 . a \sqrt{3} = 0 = > \overset{⇀}{B C} ⊥ \overset{⇀}{S A} v à \overset{⇀}{B C} ⊥ \overset{⇀}{S B}

Suy ra: BC⊥(SAB)

b) Chứng minh AM⊥(SBC)

Gọi:

M là trung điểm của SB, S= $(a, 0, a \sqrt{3}), B = (2 a, 0, 0)$

-> $M = (\frac{a + 2 a}{2}, 0, \frac{a \sqrt{3} + 0}{2}) = (\frac{3 a}{2}, 0, \frac{a \sqrt{3}}{2})$

A=(0,0,0)

$- > A M = (\frac{3 a}{2}, 0, \frac{a \sqrt{3}}{2})$

Trong mặt phẳng (SBC), ta có:

\overset{⇀}{S B} = (a, 0, - a \sqrt{3}) \overset{⇀}{S C} = (a, 2 a, - a \sqrt{3})

Tích vô hướng:

\overset{⇀}{A M} . \overset{⇀}{S B} = \frac{3 a}{2} . a + 0.0 + \frac{a \sqrt{3}}{2} . (- a \sqrt{3}) = \frac{3 a^{2}}{2} - \frac{3 a^{2}}{2} = 0 \overset{⇀}{A M} . \overset{⇀}{S C} = \frac{3 a}{2} . a + 0.2 a + \frac{a \sqrt{3}}{2} . (- a \sqrt{3}) = \frac{3 a^{2}}{2} - \frac{3 a^{2}}{2} = 0 = > \overset{⇀}{A M} ⊥ \overset{⇀}{S B} v à \overset{⇀}{A M} ⊥ \overset{⇀}{S C}

Vậy AM⊥(SBC)

c) Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD). Tính tan⁡α

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến hoặc là góc giữa đường thẳng vuông góc với mặt đáy và giao tuyến của hai mặt phẳng.

Ở đây:

Mặt đáy (ABCD) nằm trong mặt phẳng z=0
Mặt phẳng (SAC) cắt đáy theo giao tuyến là đường AC

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng = góc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng đáy (ABCD)
⇒ Là góc giữa SA (vuông góc với đáy) và mặt phẳng đáy, chiếu SA xuống đáy, rồi xét góc giữa SA và hình chiếu đó trên đáy.

Ta cần tính góc giữa 2 vectơ:

\overset{⇀}{S A} = (a, 0, a \sqrt{3}) H ì n h c h i ế u c ủ a S A x u ố n g đ á y l à \overset{⇀}{A H} = (a, 0, 0)

→ Ta tính góc giữa SA và mặt đáy:

tanα=

\sqrt{3}

0

1 câu trả lời 233

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 11