Để giải phương trình $\frac{1}{9} - (2x + \frac{1}{2})^2 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Đầu tiên, chuyển $(2x + \frac{1}{2})^2$ sang bên phải phương trình:

$(2x + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{9}$

2. Tiếp theo, lấy căn bậc hai hai vế:

$2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \quad \text{hoặc} \quad 2x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}$

3. Tìm giá trị của $x$ trong từng trường hợp.

Trường hợp 1:

$2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

Chuyển $\frac{1}{2}$ sang bên phải:

$2x = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

Để trừ, quy đồng mẫu:

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad \text{và} \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$

Nên:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$

Vậy:

$2x = -\frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{12}$

Trường hợp 2:

$2x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}$

Chuyển $\frac{1}{2}$ sang bên phải:

$2x = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

Quy đồng mẫu nữa:

$-\frac{1}{3} = -\frac{2}{6} \quad \text{và} \quad -\frac{1}{2} = -\frac{3}{6}$

Nên:

$-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{5}{6}$

Vậy:

$2x = -\frac{5}{6} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{12}$

Kết quả:

Hai nghiệm của phương trình là:

$x = -\frac{1}{12} \quad \text{và} \quad x = -\frac{5}{12}$