Để giải phương trình \( \frac{1}{9} - (2x + \frac{1}{2})^2 = 0 \), ta thực hiện các bước sau:

1. Đầu tiên, chuyển \( (2x + \frac{1}{2})^2 \) sang bên phải phương trình:

\[
(2x + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{9}
\]

2. Tiếp theo, lấy căn bậc hai hai vế:

\[
2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \quad \text{hoặc} \quad 2x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}
\]

3. Tìm giá trị của \( x \) trong từng trường hợp.

Trường hợp 1:

\[
2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}
\]

Chuyển \( \frac{1}{2} \) sang bên phải:

\[
2x = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}
\]

Để trừ, quy đồng mẫu:

\[
\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad \text{và} \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}
\]

Nên:

\[
\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}
\]

Vậy:

\[
2x = -\frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{12}
\]

Trường hợp 2:

\[
2x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}
\]

Chuyển \( \frac{1}{2} \) sang bên phải:

\[
2x = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2}
\]

Quy đồng mẫu nữa:

\[
-\frac{1}{3} = -\frac{2}{6} \quad \text{và} \quad -\frac{1}{2} = -\frac{3}{6}
\]

Nên:

\[
-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{5}{6}
\]

Vậy:

\[
2x = -\frac{5}{6} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{12}
\]

Kết quả:

Hai nghiệm của phương trình là:

\[
x = -\frac{1}{12} \quad \text{và} \quad x = -\frac{5}{12}
\]