Để xác định kim loại R trong dung dịch muối \( R_2CO_3 \), ta sẽ theo dõi các phản ứng xảy ra giữa các muối và axit HCl, cũng như tổng khối lượng của các chất và khí thoát ra.

### Bước 1: Phân tích phản ứng xảy ra

1. **Phản ứng của CaCO3 với HCl**:
\[
CaCO_3 (s) + 2 HCl (aq) \rightarrow CaCl_2 (aq) + H_2O (l) + CO_2 (g)
\]

Phản ứng này tiêu tốn 2 mol HCl cho mỗi mol CaCO3 và tạo ra 1 mol CO2.

2. **Phản ứng của R2CO3 với HCl**:
\[
R_2CO_3 (s) + 2 HCl (aq) \rightarrow 2 RCl (aq) + H_2O (l) + CO_2 (g)
\]

Phản ứng này cũng tiêu tốn 2 mol HCl cho mỗi mol \( R_2CO_3 \) và tạo ra 1 mol CO2.

### Bước 2: Tính số mol của CaCO3 và R2CO3

- Khối lượng của \( CaCO_3 \) là 10,000 g.
- Khối lượng mol của \( CaCO_3 \) là khoảng 100,09 g/mol.

Tính số mol của \( CaCO_3 \):
\[
n_{CaCO_3} = \frac{10000 \text{ g}}{100,09 \text{ g/mol}} \approx 99,91 \text{ mol}
\]

- Khối lượng của \( R_2CO_3 \) là 8,221 g.

Giả sử khối lượng mol của \( R_2CO_3 \) là \( M \) g/mol:
\[
n_{R_2CO_3} = \frac{8221 \text{ g}}{M \text{ g/mol}} \approx \frac{8221}{M} \text{ mol}
\]

### Bước 3: Tính mol HCl cần thiết cho phản ứng

- Đối với \( CaCO_3 \):
\[
n_{HCl, CaCO_3} = 2 \times n_{CaCO_3} = 2 \times 99,91 \approx 199,82 \text{ mol}
\]

- Đối với \( R_2CO_3 \):
\[
n_{HCl, R_2CO_3} = 2 \times n_{R_2CO_3} = 2 \times \frac{8221}{M} = \frac{16442}{M} \text{ mol}
\]

### Bước 4: Tổng HCl và hiệu ứng khí CO2

Tính tổng số mol HCl cần thiết:
\[
n_{HCl, total} = n_{HCl, CaCO_3} + n_{HCl, R_2CO_3} = 199,82 + \frac{16442}{M}
\]

### Bước 5: Định luật bảo toàn khối lượng

Sau khi phản ứng xảy ra, khối lượng các cốc vẫn bằng nhau, nhưng giờ đây có khả năng HCl dư. Để cốc cân bằng, khối lượng khí CO2 thoát ra cũng được tính đến.

Mỗi mol CO2 thoát ra ở cả hai phản ứng. Do đó:
\[
CO_2 \text{ từ } CaCO_3: 1 \text{ mol} \Rightarrow n_{CO_2, CaCO_3} = 99,91 \text{ mol}
\]
\[
CO_2 \text{ từ } R_2CO_3: 1 \text{ mol} \Rightarrow n_{CO_2, R_2CO_3} = \frac{8221}{M} \text{ mol}
\]

### Bước 6: Cân bằng phương trình

Khối lượng khí CO2 phát sinh:
\[
m_{CO_2} = n_{CO_2} \times 44 \text{ g/mol}
\]
Số mol của cả hai \( CO_2 \):
\[
n_{CO_2, total} = n_{CO_2, CaCO_3} + n_{CO_2, R_2CO_3} = 99,91 + \frac{8221}{M}
\]

Dễ dàng nhận thấy, tổng số mol HCl và khí CO2 sẽ quyết định số liệu rút ra.

Khi \( M \) được tìm thấy, xác định R. Với \( R_2CO_3 \):
\[
\text{Nếu } R \text{ là kim loại kiềm thổ như Ca, Ba,...} M \approx 138 \text{ g/mol}
\]

Bằng phương pháp tinh chỉnh và giải phương trình, để xác định R, sự tính toán chi tiết cho R sẽ là:
\[
M = \text{ Khối lượng của } R_2CO_3
\]

#### Kết luận

Kim loại R có thể xác định được qua khối lượng mol và các phản ứng trên là Na hay K (khác với Ca).

Vậy suy ra, \( R \) là kim loại: **Natri (Na)** hoặc **Kali (K)** (và có thể là khác nếu số liệu chính xác hơn).