Toán góc nhị diện (hay còn gọi là góc giữa hai mặt phẳng) trong không gian là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta thường sử dụng các vector pháp tuyến của các mặt phẳng đó. Dưới đây là các bước và công thức liên quan:

1. Vector pháp tuyến
Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là:

Mặt phẳng 1: Ax+By+Cz+D1=0Ax + By + Cz + D_1 = 0Ax+By+Cz+D1​=0
Mặt phẳng 2: A′x+B′y+C′z+D2=0A'x + B'y + C'z + D_2 = 0A′x+B′y+C′z+D2​=0
Vector pháp tuyến của mặt phẳng 1 là n1⃗=(A,B,C)\vec{n_1} = (A, B, C)n1​​=(A,B,C) và vector pháp tuyến của mặt phẳng 2 là n2⃗=(A′,B′,C′)\vec{n_2} = (A', B', C')n2​​=(A′,B′,C′).

2. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng θ\thetaθ được tính bằng công thức:
cos⁡(θ)=∣n1⃗⋅n2⃗∣∥n1⃗∥⋅∥n2⃗∥\cos(\theta) = \frac{\left| \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \right|}{\|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\|}cos(θ)=∥n1​​∥⋅∥n2​​∥∣n1​​⋅n2​​∣​
Trong đó:

n1⃗⋅n2⃗\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}n1​​⋅n2​​ là tích vô hướng của hai vector pháp tuyến.
∥n1⃗∥\|\vec{n_1}\|∥n1​​∥ và ∥n2⃗∥\|\vec{n_2}\|∥n2​​∥ là độ dài của vector pháp tuyến n1⃗\vec{n_1}n1​​ và n2⃗\vec{n_2}n2​​.
3. Độ dài của vector
Độ dài của một vector n⃗=(A,B,C)\vec{n} = (A, B, C)n=(A,B,C) được tính bằng công thức:
∥n⃗∥=A2+B2+C2\|\vec{n}\| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}∥n∥=A2+B2+C2​

4. Kết luận
Sau khi tính toán, để có góc θ\thetaθ, bạn có thể dùng hàm lượng giác:
θ=arccos⁡(∣n1⃗⋅n2⃗∣∥n1⃗∥⋅∥n2⃗∥)\theta = \arccos\left(\frac{\left| \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \right|}{\|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\|}\right)θ=arccos(∥n1​​∥⋅∥n2​​∥∣n1​​⋅n2​​∣​)
Góc này sẽ nằm trong khoảng từ 000 đến π\piπ radian (hoặc từ 000 đến 180∘180^\circ180∘).

Ví dụ minh họa
Nếu bạn có hai mặt phẳng:

2x+3y−z+5=02x + 3y - z + 5 = 02x+3y−z+5=0
4x−y+5z−1=04x - y + 5z - 1 = 04x−y+5z−1=0
Vector pháp tuyến sẽ là:

n1⃗=(2,3,−1)\vec{n_1} = (2, 3, -1)n1​​=(2,3,−1)
n2⃗=(4,−1,5)\vec{n_2} = (4, -1, 5)n2​​=(4,−1,5)
Tính tích vô hướng và độ dài của các vector pháp tuyến và thay vào công thức để tính góc giữa hai mặt phẳng.