Trên đường thẳng xy lần lượt lấy 4 điểm A, B, C, D sao cho AC = BD.
a.Chứng minh: AB = CD
b.Gọi P, Q lầm lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh PQ=AC+BD/2
Quảng cáo
1 câu trả lời 483
Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng yêu cầu a và b:
a. Chứng minh: AB=CDAB = CDAB=CD
Giả sử trên đường thẳng xyxyxy, ta có 4 điểm AAA, BBB, CCC, DDD sắp xếp theo thứ tự như sau:
Gọi AC=BD=kAC = BD = kAC=BD=k (với kkk là độ dài đoạn thẳng).
Theo giả thiết, AC=BDAC = BDAC=BD tức là:
C−A=D−BC - A = D - BC−A=D−B (nếu ta hiểu các điểm này theo hệ tọa độ, giả sử ta xem A, B, C, D là các điểm có tọa độ trên một hệ trục số).
Theo công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Độ dài đoạn thẳng ACACAC bằng C−AC - AC−A
Độ dài đoạn thẳng BDBDBD bằng D−BD - BD−B
Vì vậy, ta có:
AC=C−AvaˋBD=D−BAC = C - A \quad \text{và} \quad BD = D - BAC=C−AvaˋBD=D−B
Theo đó, vì AC=BDAC = BDAC=BD, ta có:
C−A=D−BC - A = D - BC−A=D−B
Từ đó, ta có thể viết lại:
C=D−B+AC = D - B + AC=D−B+A
Sắp xếp lại các biểu thức, ta nhận thấy rằng điều này có nghĩa là độ dài ABABAB và CDCDCD sẽ bằng nhau. Nếu vẽ hình, không gian sẽ cho thấy ABABAB và CDCDCD là những đoạn thẳng song song và đồng số đo.
Do đó:
AB=CDAB = CDAB=CD
b. Chứng minh: PQ=AC+BD2PQ = \frac{AC + BD}{2}PQ=2AC+BD
Gọi PPP và QQQ lần lượt là trung điểm của ABABAB và CDCDCD.
Theo định nghĩa, trung điểm của một đoạn thẳng là điểm chia đoạn thẳng đó thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, chúng ta có:
P=A+B2vaˋQ=C+D2P = \frac{A + B}{2} \quad \text{và} \quad Q = \frac{C + D}{2}P=2A+BvaˋQ=2C+D
Bây giờ, để tìm độ dài PQPQPQ, ta sẽ tính:
PQ=Q−P=(C+D2)−(A+B2)PQ = Q - P = \left(\frac{C + D}{2}\right) - \left(\frac{A + B}{2}\right)PQ=Q−P=(2C+D)−(2A+B)
Sắp xếp lại, ta có:
PQ=C+D−A−B2PQ = \frac{C + D - A - B}{2}PQ=2C+D−A−B
Thay thế C−AC - AC−A và D−BD - BD−B vào biểu thức, ta biết rằng:
AC=k=C−AAC = k = C - AAC=k=C−A
BD=k=D−BBD = k = D - BBD=k=D−B
Do đó, ta có thể viết lại:
PQ=(C−A)+(D−B)2=AC+BD2PQ = \frac{(C - A) + (D - B)}{2} = \frac{AC + BD}{2}PQ=2(C−A)+(D−B)=2AC+BD
Kết luận:
Vậy chứng minh đã hoàn thành:
a. AB=CDAB = CDAB=CD
b. PQ=AC+BD2PQ = \frac{AC + BD}{2}PQ=2AC+BD
Quảng cáo